Calcule o rotacional e divergente de cada
d) F(x, y, z) = (x^2 - y^2) i + sen(x^2 + y^2) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial . Esses conceitos fazem parte do Cálculo Vetorial, que estuda propriedades de campos vetoriais em várias dimensões. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, tem componente zero na direção , ou seja, . Então, o divergente simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Como , muitas dessas derivadas vão ser zero. Vamos calcular passo a passo.

Passo 6

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Resposta

Então, resumindo:

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