Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo Bernoulli. Essas equações são bacanas porque têm uma forma específica que a gente pode resolver usando uma substituição esperta. Para resolver essa equação, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e a técnica de substituição para equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos de uma forma mais organizada. A equação dada é:
Vamos reescrever isso para encaixar na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
Então, reorganizando nossa equação:
Mas para ficar na forma padrão, percebemos que podemos identificar:
Passo 3
Agora, sabemos que a equação de Bernoulli tem a forma:
E para resolver, a gente faz uma substituição que transforma essa equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
para usar na equação:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação original:
Substituindo os valores de
,
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por
para facilitar:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear em
:
Vamos multiplicar toda a equação por
para simplificar:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial linear da forma:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Passo 10
Agora, integramos ambos os lados:
Usando integração por partes, onde:
Então:
Portanto:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, então:
Passo 12
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Calcule o rotacional e divergente de cada
d)
d)
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.