Resolva as seguintes equações de Bernoulli:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo Bernoulli. Essas equações são bacanas porque têm uma forma específica que a gente pode resolver usando uma substituição esperta. Para resolver essa equação, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e a técnica de substituição para equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos de uma forma mais organizada. A equação dada é:
Vamos reescrever isso para encaixar na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
Então, reorganizando nossa equação:
Mas para ficar na forma padrão, percebemos que podemos identificar:

Passo 3

Agora, sabemos que a equação de Bernoulli tem a forma:
E para resolver, a gente faz uma substituição que transforma essa equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos derivar em relação a para usar na equação:
Isso nos dá uma relação entre e :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação original:
Substituindo os valores de , e :

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por para facilitar:
Lembrando que , então:

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos multiplicar toda a equação por para simplificar:

Passo 8

Essa é uma equação diferencial linear da forma:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica para:

Passo 10

Agora, integramos ambos os lados:
Usando integração por partes, onde:
Então:
Portanto:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Lembrando que , então:

Passo 12

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Calcule o rotacional e divergente de cada
d)
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.