Resolva as seguintes equações de Bernoulli:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de Bernoulli que é dada por . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de Bernoulli e como transformá-las em equações lineares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
No nosso caso, temos , e .

Passo 3

Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
No nosso caso, isso fica:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Queremos expressar em termos de e . Da equação original:
Substituindo na expressão de :
Mas , então:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação linear em :
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos a equação linear pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Infelizmente, a integral não tem uma solução em termos de funções elementares. Portanto, expressamos a solução de forma implícita.

Passo 8

Isolando :
Lembrando que , então:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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d)
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