Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de Bernoulli que é dada por
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de Bernoulli e como transformá-las em equações lineares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
No nosso caso, temos
,
e
.
Passo 3
Agora, para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
No nosso caso, isso fica:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Queremos expressar
em termos de
e
. Da equação original:
Substituindo na expressão de
:
Mas
, então:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação linear em
:
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos a equação linear pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Infelizmente, a integral
não tem uma solução em termos de funções elementares. Portanto, expressamos a solução de forma implícita.
Passo 8
Isolando
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule o rotacional e divergente de cada
d)
d)
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
.
Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Resolva os problemas de valor inicial abaixo: