Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o rotacional da função vetorial em coordenadas esféricas. O rotacional, ou , é uma operação que nos mostra a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para isso, vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas . A expressão geral é:
Aqui, , e são as componentes do vetor nas direções , e , respectivamente.
Passo 3
Identificando as componentes da função dada:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz para calcular o determinante:
Simplificando a terceira componente:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Aplicando a regra do determinante para calcular o rotacional:
Substituindo as derivadas calculadas:
Passo 7
Simplificando cada componente:
Para :
Para :
Para :
Passo 8
Finalmente, substituindo de volta na expressão do rotacional: