Calcule o rotacional da função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o rotacional da função vetorial em coordenadas esféricas. O rotacional, ou , é uma operação que nos mostra a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para isso, vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas . A expressão geral é:
Aqui, , e são as componentes do vetor nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Identificando as componentes da função dada:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz para calcular o determinante:
Simplificando a terceira componente:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais necessárias:

Passo 6

Aplicando a regra do determinante para calcular o rotacional:
Substituindo as derivadas calculadas:

Passo 7

Simplificando cada componente:
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Finalmente, substituindo de volta na expressão do rotacional:

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre o Laplaciano para coordenadas esféricas.
OBS: Aceito se você chegar até aqui:
Sejam umaa superfície dada na forma paramétrica por
com , e um campo vetorial. Calcule o fluxo de através de de duas maneiras: primeiro por um cálculo direto e pelo Teorema de Stokes. [resp. ]
No intervalo , utilizando a regra do trapézio, encontrar a integral de considerando .
Encontre o valor da integral pelo método de Simpson, considerando 8 intervalos, ou seja, e ao final determine o erro.