Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o rotacional da função vetorial em coordenadas esféricas. O rotacional, ou , é uma operação que nos mostra a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para isso, vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas . A expressão geral é:
Aqui, , e são as componentes do vetor nas direções , e , respectivamente.
Passo 3
Identificando as componentes da função f(r, theta, phi) = r sin 2theta , r + r sin^2 2theta tan phi , theta - phir cos theta , phi dada:
fr = r sin 2theta
Portanto:
ftheta = r sin^2 2theta tan phi
fphi = -phir cos theta
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz para calcular o determinante:
r & rtheta & r sin theta phi partialpartial r & partialpartial theta & partialpartial phi r sin 2theta & r sin^2 2theta tan phi & r sin theta ( -phir cos theta )
Simplificando a terceira componente:
fphi times r sin theta = -phi sin thetacos theta
Passo 5
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Aplicando a regra do determinante para calcular o rotacional:
nabla times f = 1r sin theta [ r ( partialpartial theta ( -phi sin thetacos theta ) - partialpartial phi ( r sin^2 2theta tan phi ) )
- theta ( partialpartial r ( -phi sin thetacos theta ) - partialpartial phi ( r sin 2theta ) )
+ phi ( partialpartial r ( r sin^2 2theta tan phi ) - partialpartial theta ( r sin 2theta ) ) ]
Substituindo as derivadas calculadas:
nabla times f = 1r sin theta [ r ( -phi sin thetacos theta tan theta - r sin^2 2theta sec^2 phi )
- theta ( 0 - 0 )
+ phi ( sin^2 2theta tan phi - 2r cos 2theta ) ]
Passo 7
Simplificando cada componente:
Para -phi sin thetacos theta tan theta = -phi sin^2 thetacos theta :
0
Para sin^2 2theta tan phi - 2r cos 2theta :
Para :
Passo 8
Finalmente, substituindo de volta na expressão do rotacional:
nabla times f = 1r sin theta [ -phi sin^2 thetacos theta r + ( sin^2 2theta tan phi - 2r cos 2theta ) phi ]
Resposta
nabla times f = -phi sin thetar cos theta r + sin^2 2theta tan phi - 2r cos 2thetar sin theta phi