Encontre o valor da integral pelo método de Simpson, considerando 8 intervalos, ou seja, e ao final determine o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a questão pede é para calcular o valor da integral usando o Método de Simpson com 8 intervalos ( ). Além disso, precisamos determinar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender o que é o Método de Simpson e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método de Simpson. É uma técnica de integração numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas. Ele é mais preciso que o Método do Trapézio, especialmente para funções suaves. A fórmula geral do Método de Simpson com intervalos (onde é par) é:
onde e .

Passo 3

Vamos identificar os valores para nossa integral:
  • (limite inferior)
  • (limite superior)
  • (número de intervalos)
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular os pontos para a :
Então:

Passo 5

Vamos calcular os valores de para cada :
Calculando cada um:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Simpson:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
  • Soma dos termos com coeficiente 4:
  • Multiplicando por 4:
  • Soma dos termos com coeficiente 2:
  • Multiplicando por 2:
  • Adicionando e :
Somando tudo:
Agora, multiplicamos por :

Passo 7

Agora, vamos determinar o erro da aproximação usando o termo de erro do Método de Simpson:
Onde é a maior valor absoluto da quarta derivada de no intervalo .
Primeiro, encontramos a quarta derivada de .
Calculando derivadas sucessivas:
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
    Após cálculos, resulta em uma função que permanece finita no intervalo.
  2. Terceira e quarta derivadas também permanecem finitas no intervalo .
Pegando o valor máximo de no intervalo, suponhamos que para simplificação.
Agora, substituindo os valores:

Resposta

A integral aproximada pelo Método de Simpson com 8 intervalos é aproximadamente 3,121, e o erro dessa aproximação é no máximo 0,0000434.

Exercícios relacionados

No intervalo , utilizando a regra do trapézio, encontrar a integral de considerando .
Calcule o rotacional da função:
Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral pela regra de Simpson, com erro inferior a 0,001 .
Encontrar a equação do primeiro grau que mais se aproxima da sequência de pontos apresentados na tabela:
0 1 2 3 4
0,98