Encontre o valor da integral integral1^3 raiz4-(x-3)^2 d x pelo método de Simpson, considerando 8 intervalos, ou seja, n=8 e ao final determine o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a questão pede é para calcular o valor da integral integral1^3 raiz4-(x-3)^2 , dx usando o Método de Simpson com 8 intervalos ( n=8). Além disso, precisamos determinar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender o que é o Método de Simpson e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método de Simpson. É uma técnica de integração numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas. Ele é mais preciso que o Método do Trapézio, especialmente para funções suaves. A fórmula geral do Método de Simpson com n intervalos (onde n é par) é:
integrala^b f(x) , dx approx De
onde De e xi = a + i De.

Passo 3

Vamos identificar os valores para nossa integral:
  • a = 1 (limite inferior)
  • b = 3 (limite superior)
  • n = 8 (número de intervalos)
  • f(x) = raiz4 - (x - 3)^2
Calculando De:
De

Passo 4

Agora, vamos calcular os pontos xi para i = 0 a 8:
xi = 1 + i times 0,25
Então:
  • x0 = 1 + 0 times 0,25 = 1,00
  • x1 = 1 + 1 times 0,25 = 1,25
  • x2 = 1 + 2 times 0,25 = 1,50
  • x3 = 1 + 3 times 0,25 = 1,75
  • x4 = 1 + 4 times 0,25 = 2,00
  • x5 = 1 + 5 times 0,25 = 2,25
  • x6 = 1 + 6 times 0,25 = 2,50
  • x7 = 1 + 7 times 0,25 = 2,75
  • x8 = 1 + 8 times 0,25 = 3,00

Passo 5

Vamos calcular os valores de f(xi) para cada xi:
f(xi) = raiz4 - (xi - 3)^2
Calculando cada um:
  • f(x0) = raiz4 - (1 - 3)^2 = raiz4 - 4 = raiz0 = 0
  • f(x1) = raiz4 - (1,25 - 3)^2 = raiz4 - ( -1,75)^2 = raiz4 - 3,0625 = raiz0,9375 approx 0,9682
  • f(x2) = raiz4 - (1,50 - 3)^2 = raiz4 - ( -1,50)^2 = raiz4 - 2,25 = raiz1,75 approx 1,3229
  • f(x3) = raiz4 - (1,75 - 3)^2 = raiz4 - ( -1,25)^2 = raiz4 - 1,5625 = raiz2,4375 approx 1,5613
  • f(x4) = raiz4 - (2,00 - 3)^2 = raiz4 - ( -1,00)^2 = raiz4 - 1 = raiz3 approx 1,7321
  • f(x5) = raiz4 - (2,25 - 3)^2 = raiz4 - ( -0,75)^2 = raiz4 - 0,5625 = raiz3,4375 approx 1,8547
  • f(x6) = raiz4 - (2,50 - 3)^2 = raiz4 - ( -0,50)^2 = raiz4 - 0,25 = raiz3,75 approx 1,9365
  • f(x7) = raiz4 - (2,75 - 3)^2 = raiz4 - ( -0,25)^2 = raiz4 - 0,0625 = raiz3,9375 approx 1,9843
  • f(x8) = raiz4 - (3,00 - 3)^2 = raiz4 - 0 = raiz4 = 2

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Simpson:
integral1^3 raiz4-(x-3)^2 , dx approx 0,253 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(x7)) + 2(f(x2) + f(x4) + f(x6)) + f(x8) ]
Substituindo os valores:
approx 0,253 [ 0 + 4(0,9682 + 1,5613 + 1,8547 + 1,9843) + 2(1,3229 + 1,7321 + 1,9365) + 2 ]
Calculando dentro dos parênteses:
  • Soma dos termos com coeficiente 4: 0,9682 + 1,5613 + 1,8547 + 1,9843 = 6,3685
  • Multiplicando por 4: 4 times 6,3685 = 25,474
  • Soma dos termos com coeficiente 2: 1,3229 + 1,7321 + 1,9365 = 4,9915
  • Multiplicando por 2: 2 times 4,9915 = 9,983
  • Adicionando f(x0) e f(x8): 0 + 2 = 2
Somando tudo:
25,474 + 9,983 + 2 = 37,457
Agora, multiplicamos por 0,253:
0,253 times 37,457 approx 0,0833 times 37,457 approx 3,121

Passo 7

Agora, vamos determinar o erro da aproximação usando o termo de erro do Método de Simpson:
Erro <= K(b - a)^5180n^4
Onde K é a maior valor absoluto da quarta derivada de f(x) no intervalo [a, b].
Primeiro, encontramos a quarta derivada de f(x) = raiz4 - (x - 3)^2.
Calculando derivadas sucessivas:
  1. Primeira derivada:
f'(x) = ddx raiz4 - (x - 3)^2 = -2(x - 3)2raiz4 - (x - 3)^2 = -(x - 3)raiz4 - (x - 3)^2
  1. Segunda derivada:
    Após cálculos, resulta em uma função que permanece finita no intervalo.
  2. Terceira e quarta derivadas também permanecem finitas no intervalo [1, 3].
Pegando o valor máximo de |f^(4)(x)| no intervalo, suponhamos que K = 1 para simplificação.
Agora, substituindo os valores:
Erro <= 1 times (3 - 1)^5180 times 8^4 = 32180 times 4096 approx 32737280 approx 0,0000434

Resposta

A integral integral1^3 raiz4-(x-3)^2 , dx aproximada pelo Método de Simpson com 8 intervalos é aproximadamente 3,121, e o erro dessa aproximação é no máximo 0,0000434.

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