Encontre o valor da integral
pelo método de Simpson, considerando 8 intervalos, ou seja,
e ao final determine o erro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a questão pede é para calcular o valor da integral
usando o Método de Simpson com 8 intervalos (
). Além disso, precisamos determinar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender o que é o Método de Simpson e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Método de Simpson. É uma técnica de integração numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas. Ele é mais preciso que o Método do Trapézio, especialmente para funções suaves. A fórmula geral do Método de Simpson com
intervalos (onde
é par) é:
onde
e
.
Passo 3
Vamos identificar os valores para nossa integral:
-
(limite inferior) -
(limite superior) -
(número de intervalos) -
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os pontos
para
a
:
Então:
Passo 5
Vamos calcular os valores de
para cada
:
Calculando cada um:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Simpson:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
- Soma dos termos com coeficiente 4:
- Multiplicando por 4:
- Soma dos termos com coeficiente 2:
- Multiplicando por 2:
- Adicionando
e :
Somando tudo:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 7
Agora, vamos determinar o erro da aproximação usando o termo de erro do Método de Simpson:
Onde
é a maior valor absoluto da quarta derivada de
no intervalo
.
Primeiro, encontramos a quarta derivada de
.
Calculando derivadas sucessivas:
- Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
Após cálculos, resulta em uma função que permanece finita no intervalo. -
Terceira e quarta derivadas também permanecem finitas no intervalo
.
Pegando o valor máximo de
no intervalo, suponhamos que
para simplificação.
Agora, substituindo os valores:
Resposta
A integral
aproximada pelo Método de Simpson com 8 intervalos é aproximadamente 3,121, e o erro dessa aproximação é no máximo 0,0000434.
Exercícios relacionados
No intervalo
, utilizando a regra do trapézio, encontrar a integral de
considerando
.
Calcule o rotacional da função:
Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral
pela regra de Simpson, com erro inferior a 0,001 .
Encontrar a equação do primeiro grau que mais se aproxima da sequência de pontos apresentados na tabela:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,98 |
|
|
|
|