Seja F(x, y) = -r / ||r||^2, onde r = x i + y j. (a) Desenhe o campo F(x, y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o campo vetorial , onde . Nosso objetivo é desenhar esse campo vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de campo vetorial, vetores posição e como representar vetores graficamente.

Passo 2

Vamos começar definindo o vetor posição . A norma desse vetor, , representa a distância do ponto (x, y) até a origem e é calculada por . Assim, .
Substituindo na expressão de F(x, y), temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a direção e o sentido dos vetores do campo F(x, y). Observe que o vetor F(x, y) é sempre proporcional a , ou seja, ele aponta na direção oposta ao vetor posição r. Isso significa que todos os vetores do campo estão direcionados para a origem.
Quanto à magnitude de F(x, y), temos:
Isso indica que a magnitude dos vetores diminui à medida que nos afastamos da origem.

Passo 4

Com essas informações, podemos esboçar o campo vetorial:
  1. Direção: Todos os vetores apontam para a origem.
  2. Magnitude: Vetores próximos à origem são mais longos, e eles diminuem de tamanho conforme nos afastamos.
  3. Distribuição: Em diferentes pontos do plano, desenhe vetores seguindo essas características.
Por exemplo:
  • No ponto , .
  • No ponto , .
  • No ponto , .

Resposta

O campo vetorial consiste em vetores que apontam para a origem, com magnitudes que diminuem à medida que nos afastamos dela. Para desenhá-lo, em cada ponto (x, y) do plano, desenhe um vetor direcionado para a origem, sendo mais longo quando próximo à origem e mais curto conforme o ponto se distancia.

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