Seja
, onde
. (a) Desenhe o campo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o campo vetorial
, onde
. Nosso objetivo é desenhar esse campo vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de campo vetorial, vetores posição e como representar vetores graficamente.
Passo 2
Vamos começar definindo o vetor posição
. A norma desse vetor,
, representa a distância do ponto
até a origem e é calculada por
. Assim,
.
Substituindo na expressão de
, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a direção e o sentido dos vetores do campo
. Observe que o vetor
é sempre proporcional a
, ou seja, ele aponta na direção oposta ao vetor posição
. Isso significa que todos os vetores do campo estão direcionados para a origem.
Quanto à magnitude de
, temos:
Isso indica que a magnitude dos vetores diminui à medida que nos afastamos da origem.
Passo 4
Com essas informações, podemos esboçar o campo vetorial:
- Direção: Todos os vetores apontam para a origem.
- Magnitude: Vetores próximos à origem são mais longos, e eles diminuem de tamanho conforme nos afastamos.
- Distribuição: Em diferentes pontos do plano, desenhe vetores seguindo essas características.
Por exemplo:
- No ponto
, . - No ponto
, . - No ponto
, .
Resposta
O campo vetorial
consiste em vetores que apontam para a origem, com magnitudes que diminuem à medida que nos afastamos dela. Para desenhá-lo, em cada ponto
do plano, desenhe um vetor direcionado para a origem, sendo mais longo quando próximo à origem e mais curto conforme o ponto se distancia.
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um tanque de volume dado
contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é
. Água salgada com concentração constante
de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de
litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.
Resolva a equação linear
.
Calcule o rotacional dos seguintes campos: ©
.
Calcule o divergente dos seguintes campos: (a)
.