um tanque de volume dado
contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é
. Água salgada com concentração constante
de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de
litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um tanque que guarda uma mistura de água e sal. Inicialmente, tem uma quantidade de sal
. Água salgada com concentração
de sal por litro está entrando no tanque a uma taxa de
litros por minuto, e ao mesmo tempo, a mesma quantidade de água está saindo para manter o volume constante. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para modelar como a quantidade de sal
muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que está acontecendo no tanque. A quantidade de sal
aumenta por causa da água salgada que entra e diminui pela água que sai. Vamos calcular a taxa de variação de
em relação ao tempo.
Passo 3
A taxa de entrada de sal no tanque é a concentração da água que entra multiplicada pela taxa de entrada:
Isso porque
é a quantidade de água que entra por minuto e
é a quantidade de sal por litro.
Passo 4
A taxa de saída de sal depende da concentração de sal no tanque. Como o volume é constante
, a concentração de sal no tanque é
. Então, a taxa de saída é:
Isso porque
litros de água com essa concentração estão saindo por minuto.
Passo 5
Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a taxa de variação de
:
Substituindo as taxas que calculamos:
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, vamos rearranjá-la:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 7
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 8
A equação fica:
Integrando ambos os lados:
Passo 9
Isolando
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Resposta
A quantidade de sal no tanque em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação linear
.
Resolva os problemas de valor inicial:
Seja
, onde
. (a) Desenhe o campo
Calcule o rotacional dos seguintes campos: ©
.