um tanque de volume dado contém uma mistura de água e sal onde a quantidade inicial de sal é . Água salgada com concentração constante de sal por litro de água está entrando no tanque a uma taxa constante de litros por minuto, a medida que este despeja a mesma quantidade de água pela mangueira de saída, mantendo o volume constante. Descreva o problema de valor inicial deste fluxo, encontrando uma express ao para a quantidade de sal na água por minuto, em função dos dados iniciais e do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um tanque que guarda uma mistura de água e sal. Inicialmente, tem uma quantidade de sal . Água salgada com concentração de sal por litro está entrando no tanque a uma taxa de litros por minuto, e ao mesmo tempo, a mesma quantidade de água está saindo para manter o volume constante. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para modelar como a quantidade de sal muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que está acontecendo no tanque. A quantidade de sal aumenta por causa da água salgada que entra e diminui pela água que sai. Vamos calcular a taxa de variação de em relação ao tempo.

Passo 3

A taxa de entrada de sal no tanque é a concentração da água que entra multiplicada pela taxa de entrada:
Isso porque é a quantidade de água que entra por minuto e é a quantidade de sal por litro.

Passo 4

A taxa de saída de sal depende da concentração de sal no tanque. Como o volume é constante , a concentração de sal no tanque é . Então, a taxa de saída é:
í
Isso porque litros de água com essa concentração estão saindo por minuto.

Passo 5

Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a taxa de variação de :
í
Substituindo as taxas que calculamos:

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, vamos rearranjá-la:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 7

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 8

A equação fica:
Integrando ambos os lados:

Passo 9

Isolando :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :

Resposta

A quantidade de sal no tanque em função do tempo é:

Exercícios relacionados

Resolva a equação linear .
Resolva os problemas de valor inicial:
Seja , onde . (a) Desenhe o campo
Calcule o rotacional dos seguintes campos: © .