Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! O enunciado pede para calcular o rotacional de um campo vetorial específico. Isso envolve entender o que é o rotacional (ou curl, em inglês) e como aplicá-lo. Para isso, vamos precisar usar a definição do rotacional e calcular algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Isso significa que vamos calcular essas três componentes usando as derivadas parciais dos componentes de .

Passo 3

Vamos identificar as componentes de no enunciado:
Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias para as componentes do rotacional.
Para a componente :
Então:

Passo 5

Para a componente :
Então:

Passo 6

Para a componente :
Então:

Resposta

Juntando tudo, o rotacional do campo vetorial é:

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
d) ;
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
е) ;