Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! O enunciado pede para calcular o rotacional de um campo vetorial específico. Isso envolve entender o que é o rotacional (ou curl, em inglês) e como aplicá-lo. Para isso, vamos precisar usar a definição do rotacional e calcular algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Isso significa que vamos calcular essas três componentes usando as derivadas parciais dos componentes de
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
no enunciado:
Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias para as componentes do rotacional.
Para a componente
:
Então:
Passo 5
Para a componente
:
Então:
Passo 6
Para a componente
:
Então:
Resposta
Juntando tudo, o rotacional do campo vetorial
é:
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
d) ;
d)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
е) ;
е)