Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
d) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação, para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Sabemos que a função seno sempre resulta em valores entre -1 e 1, ou seja, .
Passo 3
Como está entre -1 e 1, o valor absoluto do termo da série é .
Passo 4
Agora, vamos comparar com uma série conhecida. Observamos que , porque , tornando o denominador maior e, consequentemente, a fração menor.
Passo 5
Sabemos que a série é uma série p com . Como , essa série converge.
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação, já que e converge, concluímos que a série original também converge absolutamente.