Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas laterais e verificar se a função é diferenciável no ponto . A gente vai precisar entender o conceito de derivadas laterais, que são as derivadas que calculamos olhando para os lados esquerdo e direito do ponto em questão. A função que vamos analisar é uma função definida por partes, então vamos ver como ela se comporta em cada parte para calcular as derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda de . Quando , a função é . A derivada dessa função é simplesmente a taxa de variação dela, que é:
Então, a derivada pela esquerda é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela direita de . Quando , a função é . A derivada dessa função também é a taxa de variação:
Então, a derivada pela direita é 2.

Passo 4

Para saber se a função é diferenciável em , precisamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais. Aqui, vimos que:
Como , as derivadas laterais não são iguais, o que significa que a função não é diferenciável em .

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Para , a função é uma reta com inclinação 1 que passa pela origem. Quando , temos outra reta com inclinação 2 que cruza o eixo y em -1. No ponto , as duas retas se encontram, mas com inclinações diferentes, criando um “canto” no gráfico, o que confirma que a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

As derivadas laterais em são:
Como elas não são iguais, a função não é diferenciável em .

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Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
e .