Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas laterais e verificar se a função é diferenciável no ponto
. A gente vai precisar entender o conceito de derivadas laterais, que são as derivadas que calculamos olhando para os lados esquerdo e direito do ponto em questão. A função que vamos analisar é uma função definida por partes, então vamos ver como ela se comporta em cada parte para calcular as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda de
. Quando
, a função é
. A derivada dessa função é simplesmente a taxa de variação dela, que é:
Então, a derivada pela esquerda é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de
. Quando
, a função é
. A derivada dessa função também é a taxa de variação:
Então, a derivada pela direita é 2.
Passo 4
Para saber se a função é diferenciável em
, precisamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais. Aqui, vimos que:
Como
, as derivadas laterais não são iguais, o que significa que a função não é diferenciável em
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Para
, a função é uma reta com inclinação 1 que passa pela origem. Quando
, temos outra reta com inclinação 2 que cruza o eixo y em -1. No ponto
, as duas retas se encontram, mas com inclinações diferentes, criando um “canto” no gráfico, o que confirma que a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
As derivadas laterais em
são:
Como elas não são iguais, a função não é diferenciável em
.
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e do sólido.
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ao redor do eixo
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Prove que o polinômio
possui três raízes reais e distintas.
Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.