Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região
ao redor do eixo
(que é o eixo das abscissas, ou seja, o eixo
). A região
é delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região
. A curva
é uma função que cresce lentamente e fica acima do eixo
para
. A linha horizontal
é uma reta que corta essa curva. Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Vamos igualar as duas funções:
Para resolver, elevamos ambos os lados ao cubo:
Então, a região
está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos discos para encontrar o volume. Quando giramos a região ao redor do eixo
, cada fatia vertical da região vira um disco com raio igual ao valor de
na função. A fórmula do volume
usando discos é:
Aqui,
, e nossos limites de integração são de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Agora, vamos integrar
.
Passo 5
A integral de
é
mais a constante, mas como estamos calculando um volume definido, não precisamos da constante. Então:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 6
Vamos calcular nos limites:
Simplificando:
Agora, calculamos
.
Passo 7
Sabemos que
, então:
Então:
Calculando
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do volume:
No entanto, parece que há um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar rapidamente.
Ao calcular
:
Então, o valor está correto.
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
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e do sólido.
e
; ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo dos
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo
Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.