Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo (que é o eixo das abscissas, ou seja, o eixo ). A região é delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região . A curva é uma função que cresce lentamente e fica acima do eixo para . A linha horizontal é uma reta que corta essa curva. Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Vamos igualar as duas funções:
Para resolver, elevamos ambos os lados ao cubo:
Então, a região está entre e .

Passo 3

Agora, vamos usar o método dos discos para encontrar o volume. Quando giramos a região ao redor do eixo , cada fatia vertical da região vira um disco com raio igual ao valor de na função. A fórmula do volume usando discos é:
Aqui, , e nossos limites de integração são de a .

Passo 4

Vamos montar a integral:
Agora, vamos integrar .

Passo 5

A integral de é mais a constante, mas como estamos calculando um volume definido, não precisamos da constante. Então:
Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 6

Vamos calcular nos limites:
Simplificando:
Agora, calculamos .

Passo 7

Sabemos que , então:
Então:
Calculando .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do volume:
No entanto, parece que há um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar rapidamente.
Ao calcular :
Então, o valor está correto.

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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e ; ao redor do eixo
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e ; ao redor do eixo dos
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ao redor do eixo
Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
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