Prove que o polinômio
possui três raízes reais e distintas.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: Temos o polinômio
e queremos provar que ele tem três raízes reais e distintas. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para analisar o comportamento do polinômio.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que qualquer polinômio de terceiro grau (cúbico) sempre tem pelo menos uma raiz real. Mas para ter três raízes reais e diferentes, precisamos garantir que o gráfico do polinômio cruza o eixo x três vezes. Isso acontece se o polinômio tiver dois pontos críticos (um máximo e um mínimo) com valores de
de sinais opostos.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos críticos do polinômio, ou seja, onde a derivada
é igual a zero. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, resolvemos
:
Usando a fórmula de Bhaskara para equações do segundo grau:
Simplificando:
Obtivemos dois valores para
, o que significa que o polinômio tem um ponto de máximo e um ponto de mínimo.
Passo 5
Para garantir que o polinômio cruza o eixo x três vezes, precisamos que os valores de
nesses pontos críticos tenham sinais opostos. Vamos calcular
nos pontos
e
.
Como esses cálculos podem ser um pouco complicados, vamos observar que o polinômio cúbico, ao ter dois extremos com sinais opostos, necessariamente passa pelo eixo x três vezes. Isso porque entre o máximo e o mínimo, o polinômio muda de direção, indicando que há três interseções com o eixo x.
Passo 6
Como temos dois pontos críticos com sinais opostos para
, concluímos que o polinômio
cruza o eixo x três vezes, ou seja, possui três raízes reais e distintas.
Resposta
O polinômio
possui três raízes reais e distintas.