Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno do eixo . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de volumes de sólidos por rotação. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração, escolher o método certo (como cascas cilíndricas) e montar a integral que vai nos dar o volume final.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . Temos duas curvas: e . Vamos encontrar onde elas se intersectam para saber os limites de .
Igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados à potência para resolver para :
Então, os limites de vão de a .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno de um eixo vertical ( ), o método mais indicado é o das cascas cilíndricas. Esse método calcula o volume somando cascas em forma de cilindros infinitamente finos ao longo do eixo de rotação.

Passo 4

No método das cascas, a fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância do elemento até o eixo de rotação.
  • é a altura da casca, que aqui será a diferença entre as funções e .
No nosso caso:
Mas como estamos interessados na distância, usamos o valor absoluto:
E a altura é:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando os valores nos limites e simplificando, chegamos ao volume total.

Resposta

Após realizar os cálculos, o volume do sólido de revolução é igual a . Ou seja:

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Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ; ao redor do eixo
Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
.
Prove que o polinômio possui três raízes reais e distintas.