Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas
e
é girada em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de volumes de sólidos por rotação. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração, escolher o método certo (como cascas cilíndricas) e montar a integral que vai nos dar o volume final.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. Temos duas curvas:
e
. Vamos encontrar onde elas se intersectam para saber os limites de
.
Igualando as duas equações:
Elevando ambos os lados à potência
para resolver para
:
Então, os limites de
vão de
a
.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno de um eixo vertical (
), o método mais indicado é o das cascas cilíndricas. Esse método calcula o volume somando cascas em forma de cilindros infinitamente finos ao longo do eixo de rotação.
Passo 4
No método das cascas, a fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é a distância do elemento até o eixo de rotação. -
é a altura da casca, que aqui será a diferença entre as funções e .
No nosso caso:
Mas como estamos interessados na distância, usamos o valor absoluto:
E a altura
é:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando os valores nos limites e simplificando, chegamos ao volume total.
Resposta
Após realizar os cálculos, o volume do sólido de revolução é igual a
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo
Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
Prove que o polinômio
possui três raízes reais e distintas.