Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas laterais no ponto da função definida por partes:
A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções definidas por partes. Vamos precisar entender como calcular derivadas laterais e verificar se a função é diferenciável no ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas laterais. A derivada lateral à esquerda () considera os valores de que se aproximam de pela esquerda, e a derivada lateral à direita () considera os valores que se aproximam pela direita.
Então, vamos calcular e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada lateral à esquerda ().
Para , a função é .
A derivada de é simplesmente:
Portanto, a derivada à esquerda no ponto 1 é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada lateral à direita ().
Para , a função é .
A derivada de é:
Então, a derivada à direita no ponto 1 é:
Passo 5
Agora que temos as duas derivadas laterais:
Para a função ser diferenciável no ponto , as duas derivadas laterais precisam ser iguais. Aqui, elas são diferentes.
Resposta
As derivadas laterais no ponto são e . Como as derivadas laterais não são iguais, a função não é diferenciável em .