Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado.
f(x) = { x sen(x), se x ≠ 0; 0, se x = 0 }
a = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função abaixo é contínua no ponto .
Então, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções. Para isso, vamos precisar entender que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Como a função muda de expressão dependendo do valor de , vamos considerar :
Queremos calcular:

Passo 3

Sabemos que é uma função que fica sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das extremidades:
Como está “presa” entre e , pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Peneirão), podemos concluir que:

Passo 5

Agora, vamos verificar o valor da função no ponto :

Passo 6

Comparando o limite com o valor da função:
Isso mostra que a condição para continuidade é satisfeita.

Resposta

A função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados