Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto
indicado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função abaixo é contínua no ponto
.
Então, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções. Para isso, vamos precisar entender que uma função é contínua em um ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Como a função muda de expressão dependendo do valor de
, vamos considerar
:
Queremos calcular:
Passo 3
Sabemos que é uma função que fica sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, multiplicando por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das extremidades:
Como está “presa” entre
e
, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Peneirão), podemos concluir que:
Passo 5
Agora, vamos verificar o valor da função no ponto
:
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função:
Isso mostra que a condição para continuidade é satisfeita.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.