Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto indicado.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função definida por partes é contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é a continuidade de funções, e vamos precisar entender como calcular limites laterais e comparar com o valor da função no ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função dada no ponto .

Passo 3

Primeiro, verificamos se está definida. Olhando para a função:
Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Como a função é definida por partes, precisamos calcular os limites à esquerda e à direita de 0.

Limite à esquerda ( ):

Para , temos:
Sabemos que:
Então,

Limite à direita ( ):

Para , temos:
Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Agora que temos os limites laterais:
O limite geral de quando se aproxima de 0 é:

Passo 6

Por último, comparamos o limite com o valor da função no ponto:
Como os dois são iguais, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .
Para o cálculo de , calculamos , com . Assim, é preciso que esteja no domínio de , daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções e do exercício anterior, temos que
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais que . Assim, eliminamos todos os valores de reais, tais que . Ainda considerando as funções e como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
7a)
Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto indicado.
.
Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
.