Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado.
f(x)=l sen xx, se x<0 tg xx, se x>0 1, se x=0
a=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função definida por partes é contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é a continuidade de funções, e vamos precisar entender como calcular limites laterais e comparar com o valor da função no ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função dada no ponto .

Passo 3

Primeiro, verificamos se f(0) = 1 está definida. Olhando para a função:
Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = sen xx quando limx to 0 sen xx = 1 se aproxima de 0. Como a função é definida por partes, precisamos calcular os limites à esquerda e à direita de 0.

Limite à esquerda ( limx to 0^- f(x) = 1 ):

Para f(x) = tg xx = sen xcos xx = sen xx cos x , temos:
Sabemos que:
Então,
limx to 0 sen xx = 1 e limx to 0 cos x = 1

Limite à direita ( limx to 0^+ f(x) = 11 = 1 ):

Para , temos:
Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Agora que temos os limites laterais:
limx to 0^- f(x) = 1 e limx to 0^+ f(x) = 1
O limite geral de limx to 0 f(x) = 1 quando se aproxima de 0 é:

Passo 6

Por último, comparamos o limite com o valor da função no ponto:
limx to 0 f(x) = 1 e f(0) = 1
Como os dois são iguais, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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