Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função definida por partes é contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é a continuidade de funções, e vamos precisar entender como calcular limites laterais e comparar com o valor da função no ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem satisfeitas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função dada no ponto .
Passo 3
Primeiro, verificamos se está definida. Olhando para a função:
Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Como a função é definida por partes, precisamos calcular os limites à esquerda e à direita de 0.
Limite à esquerda ():
Para , temos:
Sabemos que:
Então,
Limite à direita ():
Para , temos:
Sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Agora que temos os limites laterais:
O limite geral de quando se aproxima de 0 é:
Passo 6
Por último, comparamos o limite com o valor da função no ponto:
Como os dois são iguais, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.