Calcule
s) integral sec ^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de sec^4(x) dx. Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas fórmulas de integração e usar técnicas de manipulação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função sec^4(x) de uma forma que facilite a integração. Sabemos que sec^2(x) = 1 + tan^2(x). Então, podemos decompor sec^4(x) da seguinte maneira:
sec^4(x) = sec^2(x) cdot sec^2(x) = sec^2(x) cdot (1 + tan^2(x))

Passo 3

Agora, vamos expandir essa expressão:
sec^4(x) = sec^2(x) + sec^2(x)tan^2(x)
Isso nos dá duas integrais para resolver separadamente:
integral sec^4(x) dx = integral sec^2(x) dx + integral sec^2(x)tan^2(x) dx

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira integral, integral sec^2(x) dx. Sabemos que a integral de sec^2(x) é uma das integrais básicas:
integral sec^2(x) dx = tan(x) + C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral, integral sec^2(x)tan^2(x) dx. Para simplificar, podemos fazer uma substituição. Vamos chamar u = tan(x). Assim, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sec^2(x) implies du = sec^2(x) dx

Passo 6

Com essa substituição, a integral fica:
integral sec^2(x)tan^2(x) dx = integral u^2 du
Integrando u^2, temos:
integral u^2 du = u^33 + C = tan^3(x)3 + C

Passo 7

Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:
integral sec^4(x) dx = tan(x) + tan^3(x)3 + C

Resposta

Portanto, a integral de sec^4(x) dx é:
integral sec^4(x) dx = tan(x) + tan^3(x)3 + C

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