Calcule o(s) valor(es) possível(is) para a in R, de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.
lim x 1 x^2-2 a x+1x-1=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o valor de lim x 1 x^2-2 a x+1x-1=0 que faz com que o limite abaixo seja igual a zero:
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e entender como os termos se comportam quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a fração. Olhando para o numerador , podemos tentar fatorar ou reescrever de alguma forma que facilite o cancelamento do termo do denominador. Uma boa estratégia é reconhecer que se tende a 1, talvez o numerador também tenda a zero, permitindo que a gente cancele o .

Passo 3

Vamos verificar o que acontece com o numerador quando x^2-2 a x+1 |x=1 = 1 - 2a + 1 = 2 - 2a :
2 - 2a = 0 implies a = 1
Para que o numerador também tenda a zero quando tende a 1, precisamos que:
Então, sabemos que deve ser 1 para que tanto o numerador quanto o denominador tendam a zero, o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital ou fatorar.

Passo 4

Com lim x 1 x^2-2 cdot 1 cdot x+1x-1 = lim x 1 x^2-2x+1x-1 , substituímos de volta na expressão original:
x^2-2x+1 = (x-1)^2
O numerador agora é lim x 1 (x-1)^2x-1 = lim x 1 (x-1) = 0 , que pode ser fatorado como:
Então, a expressão fica:
Isso confirma que, com , o limite é de fato zero.

Resposta

O valor possível para que satisfaz a condição é .

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