Prove cada proposição usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de 3 é igual a . Isso está dentro do conteúdo de limites usando a definição e . Vamos precisar entender como relacionar e para mostrar que, ao fazermos chegar bem perto de 3 (dentro de ), o valor de vai ficar bem perto de (dentro de ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando e . Dizemos que:
se, para todo , existir um tal que, sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos encontrar em função de tal que:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão :
Agora, queremos que . Vamos manipular isso para encontrar um vínculo direto entre e .

Passo 4

Observe que:
Isso porque:
e, pela propriedade do valor absoluto:

Passo 5

Então, temos que:
Para garantir isso, basta que:

Passo 6

Portanto, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Concluímos que, para todo , ao escolher , garante-se que sempre que . Portanto,

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Calcule o(s) valor(es) possível(is) para , de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.
Determine um número para o dado tal que se então .

.
Prove cada proposição usando a definição de limite.
Prove cada proposição usando a definição de limite.