Prove cada proposição usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de
quando
se aproxima de 3 é igual a
. Isso está dentro do conteúdo de limites usando a definição
e
. Vamos precisar entender como relacionar
e
para mostrar que, ao fazermos
chegar bem perto de 3 (dentro de
), o valor de
vai ficar bem perto de
(dentro de
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando
e
. Dizemos que:
se, para todo
, existir um
tal que, sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Então, precisamos encontrar
em função de
tal que:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
:
Agora, queremos que
. Vamos manipular isso para encontrar um vínculo direto entre
e
.
Passo 4
Observe que:
Isso porque:
e, pela propriedade do valor absoluto:
Passo 5
Então, temos que:
Para garantir isso, basta que:
Passo 6
Portanto, podemos escolher
. Assim, sempre que
, teremos:
Resposta
Concluímos que, para todo
, ao escolher
, garante-se que
sempre que
. Portanto,
Exercícios relacionados
Calcule o(s) valor(es) possível(is) para
, de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.
Determine um número
para o
dado tal que se
então
.
.
Prove cada proposição usando a definição
de limite.
Prove cada proposição usando a definição
de limite.