Prove cada proposição usando a definição varepsilon, de de limite.
lim x 3(1-4 x)=-11

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de 3 é igual a . Isso está dentro do conteúdo de limites usando a definição e . Vamos precisar entender como relacionar e para mostrar que, ao fazermos chegar bem perto de 3 (dentro de ), o valor de vai ficar bem perto de (dentro de ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando limx to a f(x) = L e | (1 - 4x) - (-11) | < varepsilon sempre que |x - 3| < de. Dizemos que:
se, para todo , existir um tal que, sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos encontrar em função de tal que:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |1 - 4x + 11| = |12 - 4x| :
Agora, queremos que . Vamos manipular isso para encontrar um vínculo direto entre e .

Passo 4

Observe que:
|12 - 4x| = | -4x + 12 | = 4|x - 3|
Isso porque:
-4x + 12 = -4(x - 3)
e, pela propriedade do valor absoluto:
| -4(x - 3) | = 4|x - 3|

Passo 5

Então, temos que:
4|x - 3| < varepsilon
Para garantir isso, basta que:
|x - 3| < varepsilon4

Passo 6

Portanto, podemos escolher |1 - 4x - (-11)| = 4|x - 3| < 4 cdot varepsilon4 = varepsilon . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Concluímos que, para todo limx to 3 (1 - 4x) = -11 , ao escolher , garante-se que sempre que . Portanto,

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