Prove cada proposição usando a definição
de limite.
Passo 1
Então, a gente tem que provar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 2, ou seja:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando a definição de limites com
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
usando
e
. A definição é:
Para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
No nosso caso,
,
, e
. Então, precisamos mostrar que para qualquer
, podemos encontrar um
tal que:
Passo 3
Observa que, na nossa função
, temos
. Isso simplifica a relação que precisamos provar:
O objetivo é encontrar
em termos de
que satisfaça essa condição. Aqui, percebemos que se escolhermos
, então sempre que
, teremos automaticamente
.
Passo 4
Vamos formalizar isso:
-
Escolha de
: Definimos . -
Verificação: Assumindo que
, substituindo por , temos:
Isso satisfaz exatamente a condição necessária para a definição de limite.
Resposta
Portanto, para qualquer
, podemos escolher
de forma que, se
, então
. Assim, provamos que:
Exercícios relacionados
Prove cada proposição usando a definição
de limite.
Calcule o(s) valor(es) possível(is) para
, de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.
Prove cada proposição usando a definição
de limite.
Se
e
, quanto vale
?