Prove cada proposição usando a definição de limite.

Passo 1

Então, a gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 2, ou seja:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando a definição de limites com e . Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que usando e . A definição é:
Para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , , e . Então, precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que:

Passo 3

Observa que, na nossa função , temos . Isso simplifica a relação que precisamos provar:
O objetivo é encontrar em termos de que satisfaça essa condição. Aqui, percebemos que se escolhermos , então sempre que , teremos automaticamente .

Passo 4

Vamos formalizar isso:
  1. Escolha de : Definimos .
  2. Verificação: Assumindo que , substituindo por , temos:
Isso satisfaz exatamente a condição necessária para a definição de limite.

Resposta

Portanto, para qualquer , podemos escolher de forma que, se , então . Assim, provamos que:

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