Determine um número para o dado tal que se então .

.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que encontrar um número para um dado, de forma que se , então . Aqui, a função é , o limite é quando se aproxima de , e . Vamos precisar usar a definição de limite e manipular as inequações para encontrar .

Passo 2

Começamos com a condição . Substituindo e , temos:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação . Primeiro, dividimos ambos os lados por 3 para isolar :

Passo 4

A expressão é a mesma que , ou seja, . Então, para que , precisamos que:
Isso significa que podemos escolher .

Resposta

Escolhemos para que, se , então .

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Calcule os seguintes limites.
Calcule o(s) valor(es) possível(is) para , de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.
Calcule o(s) valor(es) possível(is) para , de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.
Prove cada proposição usando a definição de limite.