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Calcule d/ dt F e d^2 F / dt^2; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto (t0, F(t0))
a) F(t) = (3t^2, e^(-t), ln(t^2 + 1)), t0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a primeira e a segunda derivada da função vetorial no ponto t0 = 0. Depois disso, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico dessa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções vetoriais componente a componente e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a t, ou seja, d/ dt F . Lembre-se que para funções vetoriais, derivamos cada componente separadamente.
Então, temos:
Derivando cada componente:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é d^2 F / dt^2. Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada.
Derivando cada componente de d/ dt F :
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos avaliar elas no ponto .
Para a primeira derivada:
Para a segunda derivada:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de no ponto t0 = 0. A fórmula da reta tangente para uma função vetorial é:
Primeiro, vamos encontrar :
Usando a primeira derivada no ponto t0 = 0:
Então, substituindo na fórmula da reta tangente:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto t0 = 0 é .

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