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Calcule e ; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a primeira e a segunda derivada da função vetorial no ponto . Depois disso, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico dessa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções vetoriais componente a componente e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , ou seja, . Lembre-se que para funções vetoriais, derivamos cada componente separadamente.
Então, temos:
Derivando cada componente:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é . Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada.
Derivando cada componente de :
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos avaliar elas no ponto .
Para a primeira derivada:
Para a segunda derivada:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de no ponto . A fórmula da reta tangente para uma função vetorial é:
Primeiro, vamos encontrar :
Usando a primeira derivada no ponto :
Então, substituindo na fórmula da reta tangente:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é .

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    (a)
Calcule os limites.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Calcule os limites.