Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a
da função
, em que
e
. Justifique sua resposta com os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a derivada parcial de primeira ordem em relação a
da função
, onde:
Vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Isso significa que precisamos entender como
depende de
e
, e como
e
dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se temos uma função composta
, a derivada parcial de
em relação a
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também das funções
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando
e
.
Dada:
Note que
não depende de
, ou seja,
.
Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Em seguida, para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia:
Como
, a expressão simplifica para:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão:
Esse é o resultado final da derivada parcial.
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:
Calcule
no seguinte caso:
e
, simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.
Encontre
e o
.
div
(d)