Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a da função , em que e . Justifique sua resposta com os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a derivada parcial de primeira ordem em relação a da função , onde:
Vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Isso significa que precisamos entender como depende de e , e como e dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se temos uma função composta , a derivada parcial de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e também das funções e em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando e .
Dada:
Note que não depende de , ou seja, .
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar e .
Primeiro, para :
Em seguida, para :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia:
Como , a expressão simplifica para:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão:
Esse é o resultado final da derivada parcial.

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:
Calcule no seguinte caso: e , simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.
Encontre e o .
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