Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a x da função g(u(x, y), v(x, y)), em que g(u, v) = ln(u^2 + u^3), u(x, y) = e^(-x) cos(y) + e^(-y) cos(x) e v(x, y) = sen(2 x) cos(y^2). Justifique sua resposta com os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a derivada parcial de primeira ordem em relação a da função , onde:
Vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Isso significa que precisamos entender como depende de e , e como e dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se temos uma função composta , a derivada parcial de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e também das funções e em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando e .
Dada:
Note que não depende de , ou seja, .
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar e .
Primeiro, para :
Em seguida, para :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia:
Como , a expressão simplifica para:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão:
Esse é o resultado final da derivada parcial.

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados