Considere t = tg(x/2), -pi < x < pi, determine cos x, sen x e dx.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte pergunta: se e , precisamos descobrir , e . Vamos usar trigonometria, especialmente as fórmulas de ângulo duplo, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que relacionam e com . Essas fórmulas são super úteis pra transformar expressões com funções trigonométricas.
As fórmulas são:

Passo 3

Vamos começar calculando . Substituindo na fórmula:
Então, já temos em função de .

Passo 4

Agora, vamos para . Usando a outra fórmula:
Assim, conseguimos também em função de .

Passo 5

Por último, precisamos encontrar em termos de . Sabemos que , então vamos derivar isso para achar .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Sabendo que , temos:
Agora, invertendo para achar :

Resposta

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