Calcule a seguinte integral definida ∫_1^3(∛x²)dx, não consegui resolver, alguém pode me ajudar?

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida integral1^3 raiz[3]x^2 , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a regra de potenciação para integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da integral de uma potência, que nos ajuda a encontrar a antiderivada de funções do tipo x^n.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função raiz[3]x^2 de uma forma mais simples usando potências fracionárias. Sabemos que raiz[3]x^2 = x^2/3. Então, a integral fica:
integral1^3 x^2/3 , dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da potência para integrais. A regra diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde n neq -1. No nosso caso, n = 23, que não é igual a -1, então podemos usar essa regra.

Passo 4

Aplicando a regra da potência, encontramos a antiderivada de x^2/3:
integral x^2/3 , dx = x^(2/3) + 1(2/3) + 1 + C = x^5/35/3 + C = 35 x^5/3 + C

Passo 5

Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 3, não precisamos do C. Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de integração:
35 x^5/3 |1^3 = 35 cdot 3^5/3 - 35 cdot 1^5/3

Passo 6

Calculando cada termo:
Primeiro, 3^5/3:
3^5/3 = (3^1/3)^5 = (raiz[3]3)^5 approx 3^1.6667 approx 6.2403
E 1^5/3 = 1.
Então:
35 cdot 6.2403 - 35 cdot 1 = 18.72095 - 35 = 3.74418 - 0.6 = 3.14418

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é aproximadamente 3.144.

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