Mostre, pela definição, que:
a) lim (x, y) (2,0)(x^2+y^2-4)=0 ;

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar, pela definição, que o limite da função quando se aproxima de é igual a 0. Isso envolve o conceito de limite de funções de duas variáveis e vamos utilizar a definição formal de limite para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, queremos mostrar que , e .

Passo 3

Vamos aplicar a definição. Precisamos encontrar |x^2 + y^2 - 4| = |(x^2 - 4) + y^2| <= |x^2 - 4| + |y^2| tal que, se |x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| , então .
Vamos manipular a expressão :
Note que . Portanto:

Passo 4

Queremos controlar |x - 2| < 1 implies 1 < x < 3 implies |x + 2| < 5 e |x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < de. Já que , então e .
Vamos supor que . Assim, está próximo de 2:
Portanto:
E (já que ).

Passo 5

Juntando tudo:
|x^2 + y^2 - 4| <= |x^2 - 4| + |y^2| < 5de
Queremos que de. Para isso, basta escolher:

Resposta

Assim, para todo lim(x, y) to (2, 0) (x^2 + y^2 - 4) = 0 , escolhendo , garantimos que sempre que . Portanto,

Exercícios relacionados