Mostre, pela definição, que:
a)
a)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar, pela definição, que o limite da função
quando
se aproxima de
é igual a 0. Isso envolve o conceito de limite de funções de duas variáveis e vamos utilizar a definição formal de limite para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso, queremos mostrar que
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição. Precisamos encontrar
tal que, se
, então
.
Vamos manipular a expressão
:
Note que
. Portanto:
Passo 4
Queremos controlar
e
. Já que
, então
e
.
Vamos supor que
. Assim,
está próximo de 2:
Portanto:
E
(já que
).
Passo 5
Juntando tudo:
Queremos que
. Para isso, basta escolher:
Resposta
Assim, para todo
, escolhendo
, garantimos que
sempre que
. Portanto,