Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis e :
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos que calcular uma integral dupla sobre um trapézio definido por , e . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis com e .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar e em termos de e . Temos:
Resolvendo essas equações para e :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar o diferencial de área . O jacobiano é dado por:
Então, .
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando as novas variáveis integral duplaD cos(x - y)sin(x + y) , dA = integral duplaD' cos(u)sin(v) times 12 , du , dv e :
Onde é a região transformada no sistema de coordenadas e .
Passo 5
Precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada. Sabemos que x = u + v2 >= 0 Rightarrow u + v >= 0 y = v - u2 >= 0 Rightarrow v - u >= 0 Rightarrow u <= v porque e isso está definido no trapézio . Além disso, como e :
Portanto, para cada entre 1 e 2, varia de até .
Passo 6
Agora, montamos a integral com os novos limites:
integral duplaD cos(u)sin(v) times 12 , du , dv = 12 integralv=1^2 integralu=-v^v cos(u)sin(v) , du , dv
Podemos simplificar a expressão:
= 12 integral1^2 1sin(v) ( integral-v^v cos(u) , du ) dv
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a integral-v^v cos(u) , du = sin(u) |-v^v = sin(v) - sin(-v) = 2sin(v) :
Passo 8
Substituindo o resultado da integral interna na expressão principal:
12 integral1^2 2sin(v)sin(v) , dv = 12 integral1^2 2 , dv = 12 times 2 times (2 - 1) = 1