Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis e :
éé

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos que calcular uma integral dupla sobre um trapézio definido por , e . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis com e .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar e em termos de e . Temos:
Resolvendo essas equações para e :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar o diferencial de área . O jacobiano é dado por:
Então, .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando as novas variáveis e :
Onde é a região transformada no sistema de coordenadas e .

Passo 5

Precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada. Sabemos que porque e isso está definido no trapézio . Além disso, como e :
Portanto, para cada entre 1 e 2, varia de até .

Passo 6

Agora, montamos a integral com os novos limites:
Podemos simplificar a expressão:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 8

Substituindo o resultado da integral interna na expressão principal:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que e .
Calcule os volumes dos seguintes sólidos: .