Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis e :
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos que calcular uma integral dupla sobre um trapézio definido por , e . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis com e .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar e em termos de e . Temos:
Resolvendo essas equações para e :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar o diferencial de área . O jacobiano é dado por:
Então, .
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando as novas variáveis e :
Onde é a região transformada no sistema de coordenadas e .
Passo 5
Precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada. Sabemos que porque e isso está definido no trapézio . Além disso, como e :
Portanto, para cada entre 1 e 2, varia de até .
Passo 6
Agora, montamos a integral com os novos limites:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Passo 8
Substituindo o resultado da integral interna na expressão principal: