Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e então integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Para separar, vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 3
Agora, vamos lidar com cada lado da equação separadamente, começando pela parte com
. Sabemos que
, então a integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral do lado direito da equação:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Passo 5
Agora, igualamos os resultados das integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, aplicamos a função tangente inversa aos dois lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se
então o raio de convergência da série de potências
é
.
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis
e
: