Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e então integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Para separar, vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 3

Agora, vamos lidar com cada lado da equação separadamente, começando pela parte com . Sabemos que , então a integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral do lado direito da equação:
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 5

Agora, igualamos os resultados das integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , aplicamos a função tangente inversa aos dois lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se então o raio de convergência da série de potências é .
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis e :
éé