Calcule os volumes dos seguintes sólidos: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido . Esse problema envolve conceitos de cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas, especialmente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar configurar a integral que representa o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, observamos que varia de 0 até . Isso significa que o sólido está entre o plano (plano xy) e a superfície parabólica . Para encontrar o volume, vamos integrar a função sobre a região onde e variam.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a equação sugere simetria circular. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para e . A superfície intercepta o plano quando , ou seja, . Isso significa que varia de 0 a 1, e varia de 0 a .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para o volume :
Aqui, representa a altura , e vem do elemento de área em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais duplas: , em que e .
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis e :
éé
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .
Calcule as seguintes integrais duplas: .