Calcule os volumes dos seguintes sólidos:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido
. Esse problema envolve conceitos de cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas, especialmente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar configurar a integral que representa o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, observamos que
varia de 0 até
. Isso significa que o sólido está entre o plano
(plano xy) e a superfície parabólica
. Para encontrar o volume, vamos integrar a função
sobre a região onde
e
variam.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a equação
sugere simetria circular. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
e
. A superfície
intercepta o plano
quando
, ou seja,
. Isso significa que
varia de 0 a 1, e
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla para o volume
:
Aqui,
representa a altura
, e
vem do elemento de área em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
e
.
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis
e
:
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule as seguintes integrais duplas:
.