Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla de
sobre a região
, que é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem
e
. Isso significa que estamos olhando para a metade direita do círculo unitário. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e, provavelmente, mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. A condição
define um círculo de raio 1 centrado na origem, e
limita isso à metade direita desse círculo. Então,
é um semicírculo.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as relações são:
E a área diferencial
se transforma em
.
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. Como
é a metade direita do círculo unitário:
- O raio
varia de 0 a 1. - O ângulo
varia de a (para cobrir a metade direita).
Passo 5
Reescrevendo a função
em coordenadas polares:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Avaliado de
a
:
Calculando:
Passo 8
Multiplicando pela constante que tiramos antes:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis
e
:
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule os volumes dos seguintes sólidos:
.
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o triângulo de vértices
e
.