Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD(x-y) d A, em que D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1 e x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla de sobre a região , que é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem e . Isso significa que estamos olhando para a metade direita do círculo unitário. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e, provavelmente, mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A condição define um círculo de raio 1 centrado na origem, e limita isso à metade direita desse círculo. Então, é um semicírculo.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as relações são:
x = r cos theta y = r sin theta
E a área diferencial se transforma em .

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. Como é a metade direita do círculo unitário:
  • O raio varia de 0 a 1.
  • O ângulo varia de a (para cobrir a metade direita).

Passo 5

Reescrevendo a função x - y = r cos theta - r sin theta = r (cos theta - sin theta) em coordenadas polares:
integral duplaD (x - y) , dA = integral-pi2^pi2 integral0^1 r (cos theta - sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^1 r^2 (cos theta - sin theta) , dr , dtheta
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13 :
13 integral-pi2^pi2 (cos theta - sin theta) , dtheta
Então, a integral se simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral (cos theta - sin theta) , dtheta = sin theta + cos theta :
[ sin theta + cos theta ]-pi2^pi2
Avaliado de ( sin pi2 + cos pi2 ) - ( sin (-pi2) + cos (-pi2) ) = ( 1 + 0 ) - ( -1 + 0 ) = 1 - (-1) = 2 a :
Calculando:

Passo 8

Multiplicando pela constante que tiramos antes:
13 times 2 = 23

Resposta

O valor da integral dupla é .

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