Calcule as seguintes integrais duplas: , em que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla de sobre a região , que é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem e . Isso significa que estamos olhando para a metade direita do círculo unitário. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e, provavelmente, mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A condição define um círculo de raio 1 centrado na origem, e limita isso à metade direita desse círculo. Então, é um semicírculo.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as relações são:
E a área diferencial se transforma em .

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. Como é a metade direita do círculo unitário:
  • O raio varia de 0 a 1.
  • O ângulo varia de a (para cobrir a metade direita).

Passo 5

Reescrevendo a função em coordenadas polares:
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Avaliado de a :
Calculando:

Passo 8

Multiplicando pela constante que tiramos antes:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis e :
éé
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .
Calcule os volumes dos seguintes sólidos: .
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .