Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD x y d A, em que D é o triângulo de vértices (-1,0),(0,1) e (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD x y , dA, onde D é um triângulo com vértices em (-1,0), (0,1) e (1,0). Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para achar o valor dessa integral sobre a região triangular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região D. O triângulo tem vértices em (-1,0), (0,1) e (1,0). Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo y. Para facilitar, vamos desenhar as linhas que formam o triângulo:
  • A linha de (-1,0) a (0,1) tem equação y = x + 1.
  • A linha de (0,1) a (1,0) tem equação y = -x + 1.
  • A base do triângulo é o eixo x de -1 a 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região é simétrica, podemos integrar em y de 0 até a linha de cima, e em x de -1 a 1. Então, a integral fica:
integral-1^1 integral0^1 - |x| xy , dy , dx

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a y. A integral interna é:
integral0^1 - |x| xy , dy = x integral0^1 - |x| y , dy = x [ y^22 ]0^1 - |x| = x cdot (1 - |x|)^22

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral-1^1 x (1 - |x|)^22 , dx

Passo 6

Observamos que a função x (1 - |x|)^2 é uma função ímpar em relação a x (porque x é ímpar e (1 - |x|)^2 é par). Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.

Resposta

integral duplaD x y , dA = 0

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