Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para achar o valor dessa integral sobre a região triangular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo
. Para facilitar, vamos desenhar as linhas que formam o triângulo:
- A linha de
a tem equação . - A linha de
a tem equação . - A base do triângulo é o eixo
de a .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região é simétrica, podemos integrar em
de
até a linha de cima, e em
de
a
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a
. A integral interna é:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 6
Observamos que a função
é uma função ímpar em relação a
(porque
é ímpar e
é par). Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se
então o raio de convergência da série de potências
é
.
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis
e
:
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
e
.