Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para achar o valor dessa integral sobre a região triangular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região . O triângulo tem vértices em , e . Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo . Para facilitar, vamos desenhar as linhas que formam o triângulo:
  • A linha de a tem equação .
  • A linha de a tem equação .
  • A base do triângulo é o eixo de a .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região é simétrica, podemos integrar em de até a linha de cima, e em de a . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a . A integral interna é:

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:

Passo 6

Observamos que a função é uma função ímpar em relação a (porque é ímpar e é par). Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se então o raio de convergência da série de potências é .
Calcule a seguinte integral dupla, utilizando a mudança de variáveis e :
éé
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que e .