Calcule a seguinte integral imprópria

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral imprópria:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais impróprias e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos da Função Gama.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral retirando a constante fora da integral:
Dica: Sempre que possível, separe constantes para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da integral:
Isso se parece muito com a definição da Função Gama, que é dada por:
Explicação: A Função Gama generaliza o conceito de fatorial para números reais e complexos. Quando é um inteiro positivo, .

Passo 4

Comparando as duas expressões, percebemos que:
Então, podemos escrever a integral como:

Passo 5

Agora, utilizando a propriedade da Função Gama para inteiros positivos:
Aplicando isso para :

Passo 6

Voltando à nossa integral original, tínhamos:

Resposta

A integral vale , ou seja:

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Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
(a)
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Determine os máximos e os mínimos (caso existam) das seguintes funções:
(a)