Calcule a seguinte integral imprópria
integral0^+infty 2 e^-x x^2 n+1 d x, n in N

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral imprópria:
integral0^+infty 2 e^-x x^2n+1 , dx, n in N
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais impróprias e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos da Função Gama.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral retirando a constante fora da integral:
2 integral0^+infty e^-x x^2n+1 , dx
Dica: Sempre que possível, separe constantes para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da integral:
integral0^+infty e^-x x^2n+1 , dx
Isso se parece muito com a definição da Função Gama, que é dada por:
Gamma(k) = integral0^+infty e^-x x^k-1 , dx
Explicação: A Função Gama generaliza o conceito de fatorial para números reais e complexos. Quando é um inteiro positivo, .

Passo 4

Comparando as duas expressões, percebemos que:
k - 1 = 2n + 1 Rightarrow k = 2n + 2
Então, podemos escrever a integral como:
Gamma(2n + 2)

Passo 5

Agora, utilizando a propriedade da Função Gama para inteiros positivos:
Gamma(m) = (m-1)! onde m in N
Aplicando isso para Gamma(2n + 2) = (2n + 1)! :

Passo 6

Voltando à nossa integral original, tínhamos:
2 integral0^+infty e^-x x^2n+1 , dx = 2 Gamma(2n + 2) = 2 (2n + 1)!

Resposta

A integral vale integral0^+infty 2 e^-x x^2 n+1 , dx = 2 (2n +1)! , ou seja:

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