Calcule a seguinte integral imprópria
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral imprópria:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais impróprias e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos da Função Gama.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral retirando a constante fora da integral:
Dica: Sempre que possível, separe constantes para facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte da integral:
Isso se parece muito com a definição da Função Gama, que é dada por:
Explicação: A Função Gama generaliza o conceito de fatorial para números reais e complexos. Quando
é um inteiro positivo,
.
Passo 4
Comparando as duas expressões, percebemos que:
Então, podemos escrever a integral como:
Passo 5
Agora, utilizando a propriedade da Função Gama para inteiros positivos:
Aplicando isso para
:
Passo 6
Voltando à nossa integral original, tínhamos:
Resposta
A integral vale
, ou seja:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
(a)
(a)
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Determine os máximos e os mínimos (caso existam) das seguintes funções:
(a)
(a)