Determine o domínio da função f(x) = arcos (4-x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: Precisamos determinar o domínio da função $ f(x) = \arcos(4 - x) $. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de $ x $ essa função está definida. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre a função arcoseno, que é a inversa da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função $ \arcos(y) $ está definida apenas para valores de $ y $ que estão entre -1 e 1. Ou seja, para $ \arcos(y) $ existir, precisamos que:
arcos(y)
No nosso caso, $ y $ é igual a $ 4 - x $. Então, precisamos garantir que:
y

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade composta para encontrar os valores de $ x $ que satisfazem a condição. Vamos dividir isso em duas partes:
  1. $ -1 \leq 4 - x $
  2. $ 4 - x \leq 1 $
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Primeira parte:
-1 <= 4 - x
Subtraímos 4 de ambos os lados:
-1 - 4 <= -x -5 <= -x
Multiplicamos ambos os lados por -1 (lembrando que isso muda o sinal da desigualdade):
5 >= x
Ou seja:
x <= 5
Segunda parte:
4 - x <= 1
Subtraímos 4 de ambos os lados:
-x <= 1 - 4 -x <= -3
Multiplicamos ambos os lados por -1 (invertendo o sinal da desigualdade):
x >= 3

Resposta

Juntando as duas partes, temos que $ x $ deve ser maior ou igual a 3 e menor ou igual a 5. Portanto, o domínio da função $ f(x) = \arcos(4 - x) $ é:
x

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