Considere a integral dupla onde é a região limitada pelas retas e . Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .

Passo 1

**Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário** Vamos resolver a integral dupla onde a região é limitada pelas retas , , , e . Para resolver essa integral, vamos usar uma mudança de variáveis definida por: Precisaremos aplicar o conceito de troca de variáveis em integrais duplas, calcular o determinante jacobiano e ajustar os limites de integração para as novas variáveis e .

Passo 2

**Definindo as Novas Variáveis de Mudança** Vamos definir: Essa mudança de variáveis visa simplificar a expressão do integrando e os limites da região .

Passo 3

**Calculando o Jacobiano da Transformação** Para transformar a integral, precisamos do determinante jacobiano , que relaciona as áreas nas coordenadas e . Primeiramente, expressamos e em função de e : Agora, calculamos as derivadas parciais: O jacobiano é então: Como estamos interessados apenas no valor absoluto do jacobiano para a transformação das áreas, temos:

Passo 4

**Determinação dos Limites de Integração na Nova Coordenada** Precisamos expressar as retas que delimitam em termos de e : 1. : 2. : 3. : Substituindo na expressão de : Portanto, . 4. : Substituindo na expressão de : Portanto, . 5. : Substituindo na expressão de e : Portanto, . Resumindo os limites: - - - - - Com essas relações, podemos determinar os intervalos para e .

Passo 5

**Expressando a Integral nas Novas Variáveis** Primeiro, reescrevemos o integrando em termos de e : Então, a integral fica: Agora, precisamos determinar os limites de integração para e com base nas equações obtidas anteriormente.

Passo 6

**Realizando a Integração nas Novas Variáveis** Observando os limites, podemos fixar entre e , e para cada , varia de a . Portanto, a integral se torna: Vamos resolver a integral interna em relação a : Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Seja: Então: Aplicando a integração por partes: Aplicando os limites de : Substituindo os limites: Simplificando: Agora, substituímos esse resultado na integral externa e integramos em relação a de a . Essa integral pode ser complexa e, em muitos casos, é resolvida numericamente.

Passo 7

**Resposta Final** Após realizar a mudança de variáveis e calcular os limites de integração, a integral dupla se transforma em: A resolução completa dessa integral pode ser computacionalmente intensa e, geralmente, é avaliada usando métodos numéricos. Portanto, a resposta final é expressa na forma:

Resposta

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