onde é a região limitada pelas retas e . Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos resolver a integral dupla
onde a região é limitada pelas retas , , , e . Para resolver essa integral, vamos usar uma mudança de variáveis definida por:
Precisaremos aplicar o conceito de troca de variáveis em integrais duplas, calcular o determinante jacobiano e ajustar os limites de integração para as novas variáveis e .
Passo 2
Definindo as Novas Variáveis de Mudança
Vamos definir:
Essa mudança de variáveis visa simplificar a expressão do integrando e os limites da região .
Passo 3
Calculando o Jacobiano da Transformação
Para transformar a integral, precisamos do determinante jacobiano , que relaciona as áreas nas coordenadas e . Primeiramente, expressamos e em função de e :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
O jacobiano é então:
Como estamos interessados apenas no valor absoluto do jacobiano para a transformação das áreas, temos:
Passo 4
Determinação dos Limites de Integração na Nova Coordenada
Precisamos expressar as retas que delimitam u + v = 8 (mu em termos de u + v = -4 e u = x + 2y = 2y + 2y = 4y Rightarrow y = u4 :
v = x - 2y = 2y - 2y = 0 :
u = x + 2y = (2y - 2) + 2y = 4y - 2 Rightarrow y = u + 24
v = x - 2y = (2y - 2) - 2y = -2 :
2y = -2 Rightarrow y = -1
u = x + 2(-1) = x - 2 :
v = x - 2(-1) = x + 2
Substituindo na expressão de :
Portanto, .
:
Substituindo na expressão de :
Portanto, .
:
Substituindo na expressão de e :
Portanto, .
Resumindo os limites:
Com essas relações, podemos determinar os intervalos para e .
Passo 5
Expressando a Integral nas Novas Variáveis
Primeiro, reescrevemos o integrando em termos de x + 2y = u e x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y) = u cdot v :
integral duplaR e^uv cdot u cdot |J| , du , dv = 14 integral duplaR' u e^uv , du , dv
Então, a integral fica:
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e com base nas equações obtidas anteriormente.
Passo 6
Realizando a Integração nas Novas Variáveis
Observando os limites, podemos fixar 14 integralv=-2^0 integralu=v-4^8 - v u e^uv , du , dv entre integral u e^uv , du e a = u db = e^uv du , e para cada da = du b = 1v e^uv , integral u e^uv , du = uv e^uv - integral 1v e^uv , du = uv e^uv - 1v^2 e^uv + C varia de [ uv e^uv - 1v^2 e^uv ]u=v-4^8 - v a (8 - v)v e^v(8 - v) - 1v^2 e^v(8 - v) - ( (v - 4)v e^v(v - 4) - 1v^2 e^v(v - 4) ) . Portanto, a integral se torna:
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Seja:
Então:
Aplicando a integração por partes:
Aplicando os limites de :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa e integramos em relação a de a . Essa integral pode ser complexa e, em muitos casos, é resolvida numericamente.
Passo 7
Resposta Final
Após realizar a mudança de variáveis e calcular os limites de integração, a integral dupla se transforma em:
14 integral-2^0 integralv-4^8 - v u e^uv , du , dv
A resolução completa dessa integral pode ser computacionalmente intensa e, geralmente, é avaliada usando métodos numéricos. Portanto, a resposta final é expressa na forma: