Considere a integral dupla
onde é a região limitada pelas retas e . Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .
Passo 1
**Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário**
Vamos resolver a integral dupla
onde a região é limitada pelas retas , , , e . Para resolver essa integral, vamos usar uma mudança de variáveis definida por:
Precisaremos aplicar o conceito de troca de variáveis em integrais duplas, calcular o determinante jacobiano e ajustar os limites de integração para as novas variáveis e .
Passo 2
**Definindo as Novas Variáveis de Mudança**
Vamos definir:
Essa mudança de variáveis visa simplificar a expressão do integrando e os limites da região .
Passo 3
**Calculando o Jacobiano da Transformação**
Para transformar a integral, precisamos do determinante jacobiano , que relaciona as áreas nas coordenadas e . Primeiramente, expressamos e em função de e :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
O jacobiano é então:
Como estamos interessados apenas no valor absoluto do jacobiano para a transformação das áreas, temos:
Passo 4
**Determinação dos Limites de Integração na Nova Coordenada**
Precisamos expressar as retas que delimitam em termos de e :
1. :
2. :
3. :
Substituindo na expressão de :
Portanto, .
4. :
Substituindo na expressão de :
Portanto, .
5. :
Substituindo na expressão de e :
Portanto, .
Resumindo os limites:
-
-
-
-
-
Com essas relações, podemos determinar os intervalos para e .
Passo 5
**Expressando a Integral nas Novas Variáveis**
Primeiro, reescrevemos o integrando em termos de e :
Então, a integral fica:
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e com base nas equações obtidas anteriormente.
Passo 6
**Realizando a Integração nas Novas Variáveis**
Observando os limites, podemos fixar entre e , e para cada , varia de a . Portanto, a integral se torna:
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Seja:
Então:
Aplicando a integração por partes:
Aplicando os limites de :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa e integramos em relação a de a . Essa integral pode ser complexa e, em muitos casos, é resolvida numericamente.
Passo 7
**Resposta Final**
Após realizar a mudança de variáveis e calcular os limites de integração, a integral dupla se transforma em:
A resolução completa dessa integral pode ser computacionalmente intensa e, geralmente, é avaliada usando métodos numéricos. Portanto, a resposta final é expressa na forma: