Faça um esboço de . Seja o sólido limitado pelo cilindro parabólico e os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para fazer um esboço do sólido que é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente envolvendo superfícies e seus limites no espaço tridimensional. Para resolver isso, precisamos entender como essas superfícies se intersectam e delimitam o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada uma das superfícies que delimitam o sólido:
  1. Cilindro Parabólico: A equação representa uma parábola que se estende ao longo do eixo . Isso significa que, para cada valor de , temos um corte parabólico no plano .
  2. Plano : Este é o plano do solo, onde é zero. Ele serve como a base inferior do sólido.
  3. Plano : Este é o plano , onde é zero. Ele delimita o sólido no lado onde é positivo.
  4. Plano : Este é um plano inclinado que corta os eixos e . Para , e para , . Ele delimita o sólido no lado onde .

Passo 3

Agora, vamos identificar a região projetada no plano que vai nos ajudar a entender melhor o sólido. Nesse caso, como temos variando entre e , a projeção do sólido no plano será limitada pelas interseções dos planos e .
Resolvendo para , temos . Isso nos dá uma linha que vai de a no plano .

Passo 4

Vamos esboçar a região no plano :
  • No eixo , varia de a porque quando , .
  • Para cada nesse intervalo, varia de a .
Isso forma um triângulo no plano com vértices em , e .

Passo 5

Agora, considerando a altura , sabemos que para cada ponto nessa região triangular, varia de até . Isso significa que o sólido tem uma base plana no plano e se eleva até uma superfície parabólica.

Passo 6

Para desenhar o esboço:
  1. Trace o triângulo no plano com os vértices mencionados.
  2. Sobre essa região, desenhe a superfície parabólica , que será uma “tampa” que se abre ao longo do eixo .
  3. O sólido é a região entre a base e essa tampa parabólica, limitado pelos planos e .

Resposta

O esboço do sólido consiste em um prisma triangular no plano com a base no plano e uma tampa parabólica que se estende ao longo do eixo , limitado pelos planos e . Assim, é o conjunto de pontos dentro desse prisma que estão abaixo da superfície parabólica.

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Considere a integral dupla
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Esboce a regiāo de integração e inverta a ordem de integração. Seja
Calcule a seguinte integral tripla:
Seja o sólido limitado pelo cilindro parabólico e os planos e .
Suponha que a temperatura num ponto é dada por . Em que direção e sentido cresce mais rapidamente no ponto ? Qual a taxa máxima de crescimento neste ponto?