Faça um esboço de
. Seja
o sólido limitado pelo cilindro parabólico
e os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para fazer um esboço do sólido
que é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente envolvendo superfícies e seus limites no espaço tridimensional. Para resolver isso, precisamos entender como essas superfícies se intersectam e delimitam o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada uma das superfícies que delimitam o sólido:
-
Cilindro Parabólico: A equação
representa uma parábola que se estende ao longo do eixo . Isso significa que, para cada valor de , temos um corte parabólico no plano . -
Plano
: Este é o plano do solo, onde é zero. Ele serve como a base inferior do sólido. -
Plano
: Este é o plano , onde é zero. Ele delimita o sólido no lado onde é positivo. -
Plano
: Este é um plano inclinado que corta os eixos e . Para , e para , . Ele delimita o sólido no lado onde .
Passo 3
Agora, vamos identificar a região projetada no plano
que vai nos ajudar a entender melhor o sólido. Nesse caso, como temos
variando entre
e
, a projeção do sólido no plano
será limitada pelas interseções dos planos
e
.
Resolvendo
para
, temos
. Isso nos dá uma linha que vai de
a
no plano
.
Passo 4
Vamos esboçar a região no plano
:
- No eixo
, varia de a porque quando , . - Para cada
nesse intervalo, varia de a .
Isso forma um triângulo no plano
com vértices em
,
e
.
Passo 5
Agora, considerando a altura
, sabemos que para cada ponto nessa região triangular,
varia de
até
. Isso significa que o sólido tem uma base plana no plano
e se eleva até uma superfície parabólica.
Passo 6
Para desenhar o esboço:
- Trace o triângulo no plano
com os vértices mencionados. - Sobre essa região, desenhe a superfície parabólica
, que será uma “tampa” que se abre ao longo do eixo . - O sólido
é a região entre a base e essa tampa parabólica, limitado pelos planos e .
Resposta
O esboço do sólido
consiste em um prisma triangular no plano
com a base no plano
e uma tampa parabólica
que se estende ao longo do eixo
, limitado pelos planos
e
. Assim,
é o conjunto de pontos dentro desse prisma que estão abaixo da superfície parabólica.
Exercícios relacionados
Considere a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
e
. Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis:
.
Esboce a regiāo de integração e inverta a ordem de integração. Seja
Calcule a seguinte integral tripla:
Seja
o sólido limitado pelo cilindro parabólico
e os planos
e
.
Suponha que a temperatura
num ponto
é dada por
. Em que direção e sentido
cresce mais rapidamente no ponto
? Qual a taxa máxima de crescimento neste ponto?