Determine as trajetórias ortogonais a y^2 = 4 p x e esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais à parábola dada pela equação . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas e equações diferenciais. Vamos precisar usar a derivada para achar a inclinação das curvas e depois determinar como essas trajetórias se comportam em relação à parábola original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da parábola: . Aqui, é um parâmetro que define a abertura da parábola. Nosso objetivo é encontrar uma família de curvas que sejam ortogonais a todas as parábolas dessa forma. Para isso, precisamos encontrar a inclinação da tangente à parábola em qualquer ponto e, em seguida, determinar a inclinação das curvas ortogonais.

Passo 3

Vamos começar diferenciando a equação da parábola para encontrar a inclinação da tangente. Diferenciando ambos os lados em relação a :
Que resulta em:

Passo 4

Agora, isolamos para encontrar a derivada:
Essa expressão nos dá a inclinação da tangente à parábola em qualquer ponto .

Passo 5

As trajetórias ortogonais terão inclinações que são o negativo do inverso da inclinação da tangente original. Isso significa que se é a inclinação da tangente, a inclinação da trajetória ortogonal será . Então, para nossa derivada:

Passo 6

Agora temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar as trajetórias ortogonais.

Passo 7

Vamos resolver essa equação diferencial. Ela é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e :

Passo 8

Integrando ambos os lados, temos:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Para resolver para , exponenciamos ambos os lados:
Podemos escrever como uma nova constante :

Passo 10

Então, a equação das trajetórias ortogonais é:
Onde é uma constante que varia para cada trajetória ortogonal específica.

Passo 11

Para esboçar o gráfico, observe que as trajetórias ortogonais são curvas exponenciais decrescentes que cruzam as parábolas em ângulos retos. Cada valor de dá uma curva diferente, todas elas se aproximando do eixo à medida que aumenta.

Resposta

As trajetórias ortogonais à parábola são dadas por , onde é uma constante. O gráfico consiste em curvas exponenciais que cruzam perpendicularmente as parábolas originais.

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