Determine as trajetórias ortogonais a
e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais à parábola dada pela equação
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas e equações diferenciais. Vamos precisar usar a derivada para achar a inclinação das curvas e depois determinar como essas trajetórias se comportam em relação à parábola original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da parábola:
. Aqui,
é um parâmetro que define a abertura da parábola. Nosso objetivo é encontrar uma família de curvas que sejam ortogonais a todas as parábolas dessa forma. Para isso, precisamos encontrar a inclinação da tangente à parábola em qualquer ponto e, em seguida, determinar a inclinação das curvas ortogonais.
Passo 3
Vamos começar diferenciando a equação da parábola para encontrar a inclinação da tangente. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Que resulta em:
Passo 4
Agora, isolamos
para encontrar a derivada:
Essa expressão nos dá a inclinação da tangente à parábola em qualquer ponto
.
Passo 5
As trajetórias ortogonais terão inclinações que são o negativo do inverso da inclinação da tangente original. Isso significa que se
é a inclinação da tangente, a inclinação da trajetória ortogonal será
. Então, para nossa derivada:
Passo 6
Agora temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar as trajetórias ortogonais.
Passo 7
Vamos resolver essa equação diferencial. Ela é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Integrando ambos os lados, temos:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Para resolver para
, exponenciamos ambos os lados:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Passo 10
Então, a equação das trajetórias ortogonais é:
Onde
é uma constante que varia para cada trajetória ortogonal específica.
Passo 11
Para esboçar o gráfico, observe que as trajetórias ortogonais são curvas exponenciais decrescentes que cruzam as parábolas
em ângulos retos. Cada valor de
dá uma curva diferente, todas elas se aproximando do eixo
à medida que
aumenta.
Resposta
As trajetórias ortogonais à parábola
são dadas por
, onde
é uma constante. O gráfico consiste em curvas exponenciais que cruzam perpendicularmente as parábolas originais.
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Seja
e
mostre que
Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.
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onde
é o cone circular reto de altura
, com base circular de raio
no plano
e eixo ao longo do eixo
.
(Equação Separável)
.