Calcule o seguinte limite:
lim h 0 a^h-1h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim h 0 a^h-1h
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um conceito fundamental em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre exponenciais e como elas se comportam quando o expoente se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número elevado a zero é 1, ou seja, . Então, quando se aproxima de 0, está se aproximando de 1.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão a^h = e^h ln a de uma forma que seja mais fácil de manipular. Sabemos que pode ser escrita como , onde é a base dos logaritmos naturais e é o logaritmo natural de .
Então, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na nossa função original:
a^h - 1h = e^h ln a - 1h

Passo 5

Sabemos que existe uma expansão da série de Taylor para e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots perto de 0:
e^h ln a = 1 + h ln a + (h ln a)^22! + dots
Para , temos:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
e^h ln a - 1h = 1 + h ln a + (h ln a)^22! + dots - 1h = h ln a + (h ln a)^22! + dotsh
Simplificando:
ln a + h ln^2 a2! + dots

Passo 7

Quando ln a se aproxima de 0, os termos que contêm vão a zero. Então, o que sobra é:

Resposta

O limite é igual a .

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