Calcule o seguinte limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um conceito fundamental em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre exponenciais e como elas se comportam quando o expoente se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número elevado a zero é 1, ou seja,
. Então, quando
se aproxima de 0,
está se aproximando de 1.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão
de uma forma que seja mais fácil de manipular. Sabemos que
pode ser escrita como
, onde
é a base dos logaritmos naturais e
é o logaritmo natural de
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na nossa função original:
Passo 5
Sabemos que existe uma expansão da série de Taylor para
perto de 0:
Para
, temos:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão:
Simplificando:
Passo 7
Quando
se aproxima de 0, os termos que contêm
vão a zero. Então, o que sobra é:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule:
Determine
onde:
Uma reta cujo coeficiente angular é
passa pela origem e é tangente a curva
. Qual é o valor de
?
Calcular
onde: