Calcule o seguinte limite:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, um conceito fundamental em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre exponenciais e como elas se comportam quando o expoente se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número elevado a zero é 1, ou seja, . Então, quando se aproxima de 0, está se aproximando de 1.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de manipular. Sabemos que pode ser escrita como , onde é a base dos logaritmos naturais e é o logaritmo natural de .
Então, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na nossa função original:

Passo 5

Sabemos que existe uma expansão da série de Taylor para perto de 0:
Para , temos:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
Simplificando:

Passo 7

Quando se aproxima de 0, os termos que contêm vão a zero. Então, o que sobra é:

Resposta

O limite é igual a .

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