Uma reta cujo coeficiente angular é
passa pela origem e é tangente a curva
. Qual é o valor de
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta com coeficiente angular
que passa pela origem e é tangente à curva
. Queremos descobrir qual é o valor de
.
Passo 2
Para encontrar essa reta tangente, precisamos que ela toque a curva
em exatamente um ponto e que as inclinações (coeficientes angulares) sejam iguais nesse ponto.
Passo 3
A inclinação da reta é simplesmente
. Já para a curva
, a inclinação em qualquer ponto
é dada pela sua derivada. Vamos calcular a derivada de
.
Passo 4
A derivada de
em relação a
é:
Isso nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
.
Passo 5
No ponto onde a reta é tangente à curva, as inclinações devem ser iguais. Então, temos:
Passo 6
Além disso, como a reta passa pela origem, a equação dela é
. No ponto de tangência, as duas funções devem ter o mesmo valor de
. Então:
Passo 7
Substituindo
da equação anterior na equação da tangência:
Simplificando, temos:
Passo 8
Resolvendo
, encontramos:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação
para encontrar
:
Resposta
O valor de
é
.
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Calcule o seguinte limite:
Calcule:
Calcular
onde:
Para que valores de
a reta
é tangente ao círculo
?