Uma reta cujo coeficiente angular é passa pela origem e é tangente a curva . Qual é o valor de ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta com coeficiente angular que passa pela origem e é tangente à curva . Queremos descobrir qual é o valor de .

Passo 2

Para encontrar essa reta tangente, precisamos que ela toque a curva em exatamente um ponto e que as inclinações (coeficientes angulares) sejam iguais nesse ponto.

Passo 3

A inclinação da reta é simplesmente . Já para a curva , a inclinação em qualquer ponto é dada pela sua derivada. Vamos calcular a derivada de .

Passo 4

A derivada de em relação a é:
Isso nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 5

No ponto onde a reta é tangente à curva, as inclinações devem ser iguais. Então, temos:

Passo 6

Além disso, como a reta passa pela origem, a equação dela é . No ponto de tangência, as duas funções devem ter o mesmo valor de . Então:

Passo 7

Substituindo da equação anterior na equação da tangência:
Simplificando, temos:

Passo 8

Resolvendo , encontramos:

Passo 9

Agora, substituímos na equação para encontrar :

Resposta

O valor de é .

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Para que valores de a reta é tangente ao círculo ?