Determine
onde:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a sua derivada em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções logarítmicas e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o logaritmo na base 3 pode ser reescrito em termos de logaritmo natural (
). Sabemos que:
Isso facilita o trabalho com derivadas, já que a derivada de
é mais direta.
Passo 3
Aplicando essa propriedade na nossa função
:
Agora, a expressão está em termos de logaritmo natural, o que facilita a diferenciação.
Passo 4
Para encontrar
, vamos derivar a expressão acima em relação a
. A constante
permanece fora da derivada:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
é
:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 7
Substituindo essa derivada de volta na expressão anterior:
Passo 8
Finalmente, substituímos essa expressão na derivada original de
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine
onde:
Determine
onde:
Calcule:
Calcule o seguinte limite: