Calcule o seguinte limite:
lim x infty lfloor xrfloorx^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com conceitos de limites e funções de piso (representado por ). Para resolver isso, vamos analisar como cada parte da expressão se comporta quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função piso . Essa função retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo, e . Isso significa que está sempre um pouco menor que se não for inteiro, ou igual a se for inteiro.

Passo 3

Sabemos que para qualquer número real x - 1 < lfloor x rfloor <= x , a função piso satisfaz a seguinte desigualdade:
Isso nos diz que nunca é menor que e nunca é maior que .

Passo 4

Vamos dividir todos os membros dessa desigualdade por x - 1x^2 < lfloor x rfloorx^2 <= xx^2 (que é positivo, então a direção da desigualdade não muda):
1x - 1x^2 < lfloor x rfloorx^2 <= 1x
Simplificando as frações:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada parte quando limx to infty ( 1x - 1x^2 ) = 0 tende ao infinito:
limx to infty 1x = 0

Passo 6

Pela regra do Sanduíche (ou Teorema do Confronto), se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Como tanto limx to infty lfloor x rfloorx^2 = 0 quanto tendem a 0 quando vai para o infinito, então:

Resposta

O limite é igual a 0.

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