Calcule o seguinte limite:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Aqui, estamos lidando com conceitos de limites e funções de piso (representado por
). Para resolver isso, vamos analisar como cada parte da expressão se comporta quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função piso
. Essa função retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo,
e
. Isso significa que
está sempre um pouco menor que
se
não for inteiro, ou igual a
se for inteiro.
Passo 3
Sabemos que para qualquer número real
, a função piso satisfaz a seguinte desigualdade:
Isso nos diz que
nunca é menor que
e nunca é maior que
.
Passo 4
Vamos dividir todos os membros dessa desigualdade por
(que é positivo, então a direção da desigualdade não muda):
Simplificando as frações:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de cada parte quando
tende ao infinito:
Passo 6
Pela regra do Sanduíche (ou Teorema do Confronto), se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Como tanto
quanto
tendem a 0 quando
vai para o infinito, então:
Resposta
O limite é igual a 0.