lim x 0 e^x^2-1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função exponencial em série e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^u = 1 + u + u^22! + u^33! + cdots pode ser expandida em uma série de potências quando e^x^2 = 1 + x^2 + x^42! + x^63! + cdots é próximo de zero. A expansão é:
No nosso caso, . Então, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos subtrair 1 de ambos os lados para encontrar e^x^2 - 1 = x^2 + x^42! + x^63! + cdots :

Passo 4

Vamos dividir essa expressão por e^x^2 - 1x^2 = x^2x^2 + x^42!x^2 + x^63!x^2 + cdots = 1 + x^22! + x^43! + cdots :

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando limx 0 e^x^2 - 1x^2 = 1 se aproxima de 0. Observamos que os termos , , etc., tendem a zero. Portanto, resta apenas:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados