lim x 4 raizx+2-raiz2 x-1x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com limites, um assunto importante no cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que dão uma indeterminação do tipo quando substituímos o valor do limite diretamente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz4+2 - raiz2 times 4 -14 -4 = raiz6 - raiz70 na expressão. Substituindo temos:
Aqui, o denominador se torna zero, e o numerador também é uma diferença entre duas raízes, mas para fins de limite, isso nos dá uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que resultam em raizx+2 - raiz2x-1x-4 times raizx+2 + raiz2x-1raizx+2 + raiz2x-1 = (raizx+2)^2 - (raiz2x-1)^2(x -4)(raizx+2 + raiz2x-1) é a racionalização. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela “conjugada” do numerador para eliminar as raízes. A conjugada de é . Vamos multiplicar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador usando a propriedade (raizx+2)^2 - (raiz2x-1)^2 = (x + 2) - (2x -1) = x + 2 -2x +1 = -x +3 :
-x +3(x -4)(raizx+2 + raiz2x-1)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Podemos reorganizar -(x -3)(x -4)(raizx+2 + raiz2x-1) como , então nossa expressão é:
Agora, vamos analisar o denominador. Queremos simplificar a expressão para que possamos avaliar o limite quando se aproxima de 4.

Passo 6

Observamos que quando -(x -3) = -( (x -4) +1 ) = -(x -4) -1 se aproxima de 4, tanto quanto se aproximam de 1 e 0, respectivamente. Porém, ainda temos uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever o numerador de uma forma que facilite a simplificação:
Mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, reconhecemos que precisamos derivar numerador e denominador ou usar outro método. Mas como estamos simplificando manualmente, vamos considerar outra abordagem.

Passo 7

Vamos factorizar -(x -3)(x -4)(raizx+2 + raiz2x-1) como e reescrever o denominador:
Agora, quando , e , mas ainda precisamos de mais simplificação. Vamos reconsiderar o passo de racionalização.

Passo 8

Uma abordagem mais direta é aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada para resolver limites de forma indeterminada f'(x) = 12raizx+2 - 22raiz2x -1 = 12raizx+2 - 1raiz2x -1 . A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador g'(x) = 1 :
Derivada do denominador :

Passo 9

Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
lim x 4 raizx+2-raiz2x-1x-4 = lim x 4 f'(x)g'(x) = lim x 4 ( 12raizx+2 - 1raiz2x -1 )
Agora, substituímos 12raiz4+2 - 1raiz2 times 4 -1 = 12raiz6 - 1raiz7 :

Passo 10

Simplificando os termos:
12raiz6 - 1raiz7
Podemos deixar essa expressão assim ou, se preferir uma fração comum, encontrar um denominador comum, mas geralmente essa forma já é suficiente para representar o limite.

Resposta

O limite é igual a .

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