Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado com limites, um assunto importante no cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que dão uma indeterminação do tipo
quando substituímos o valor do limite diretamente. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão. Substituindo temos:
Aqui, o denominador se torna zero, e o numerador também é uma diferença entre duas raízes, mas para fins de limite, isso nos dá uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites que resultam em
é a racionalização. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela “conjugada” do numerador para eliminar as raízes. A conjugada de
é
. Vamos multiplicar:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador usando a propriedade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos reorganizar
como
, então nossa expressão é:
Agora, vamos analisar o denominador. Queremos simplificar a expressão para que possamos avaliar o limite quando
se aproxima de 4.
Passo 6
Observamos que quando
se aproxima de 4, tanto
quanto
se aproximam de 1 e 0, respectivamente. Porém, ainda temos uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever o numerador de uma forma que facilite a simplificação:
Mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, reconhecemos que precisamos derivar numerador e denominador ou usar outro método. Mas como estamos simplificando manualmente, vamos considerar outra abordagem.
Passo 7
Vamos factorizar
como
e reescrever o denominador:
Agora, quando
,
e
, mas ainda precisamos de mais simplificação. Vamos reconsiderar o passo de racionalização.
Passo 8
Uma abordagem mais direta é aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada para resolver limites de forma indeterminada
. A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 9
Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
Agora, substituímos
:
Passo 10
Simplificando os termos:
Podemos deixar essa expressão assim ou, se preferir uma fração comum, encontrar um denominador comum, mas geralmente essa forma já é suficiente para representar o limite.
Resposta
O limite
é igual a
.