Seja .
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a função . O conteúdo principal aqui é o Cálculo, mais especificamente Derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de onde a derivada primeiro é igual a zero ou não existe. Como nossa função é um polinômio, a derivada sempre existe, então vamos igualar a primeira derivada a zero.
A primeira derivada de é:
Agora, igualamos a zero:
Então, é o ponto crítico.

Passo 3

Agora, vamos classificar o ponto crítico encontrado. Para isso, usamos a segunda derivada. Se a segunda derivada em for positiva, temos um mínimo local; se for negativa, um máximo local; e se for zero, pode ser um ponto de inflexão.
Calculando a segunda derivada:
Como , isso significa que o ponto em é um ponto de mínimo local.

Passo 4

Vamos agora determinar os intervalos onde é crescente ou decrescente. Para isso, observamos o sinal da primeira derivada .
Sabemos que:
  • Se , a função é crescente.
  • Se , a função é decrescente.
Resolvendo :
Então, a função é crescente para .
Resolvendo :
Então, a função é decrescente para .

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade da função. Isso depende da segunda derivada .
Sabemos que:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Neste caso, para todo , então a função é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função .
  • Sabemos que é uma parábola voltada para cima (porque o coeficiente de é positivo).
  • O vértice está no ponto de mínimo local em . Calculando :
Então, o vértice é .
  • Os interceptos com o eixo são quando :
Portanto, o intercepto com o eixo é .
  • Para os interceptos com o eixo , resolvemos :
Então, os interceptos com o eixo são e .
Com essas informações, podemos desenhar a parábola com o vértice em , passando pelos pontos , e .

Resposta

a) O ponto crítico é .
b) O ponto crítico é um ponto de mínimo local.
c) A função é decrescente para e crescente para .
d) A função é côncava para cima em todo o domínio.
e) O gráfico é uma parábola com vértice em , intercepta o eixo em e o eixo em e .

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