Seja
.
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve a função
. O conteúdo principal aqui é o Cálculo, mais especificamente Derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de
onde a derivada primeiro é igual a zero ou não existe. Como nossa função é um polinômio, a derivada sempre existe, então vamos igualar a primeira derivada a zero.
A primeira derivada de
é:
Agora, igualamos a zero:
Então,
é o ponto crítico.
Passo 3
Agora, vamos classificar o ponto crítico encontrado. Para isso, usamos a segunda derivada. Se a segunda derivada em
for positiva, temos um mínimo local; se for negativa, um máximo local; e se for zero, pode ser um ponto de inflexão.
Calculando a segunda derivada:
Como
, isso significa que o ponto em
é um ponto de mínimo local.
Passo 4
Vamos agora determinar os intervalos onde
é crescente ou decrescente. Para isso, observamos o sinal da primeira derivada
.
Sabemos que:
- Se
, a função é crescente. - Se
, a função é decrescente.
Resolvendo
:
Então, a função é crescente para
.
Resolvendo
:
Então, a função é decrescente para
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade da função. Isso depende da segunda derivada
.
Sabemos que:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Neste caso,
para todo
, então a função é côncava para cima em todo o domínio.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
.
- Sabemos que é uma parábola voltada para cima (porque o coeficiente de
é positivo). - O vértice está no ponto de mínimo local em
. Calculando :
Então, o vértice é
.
- Os interceptos com o eixo
são quando :
Portanto, o intercepto com o eixo
é
.
- Para os interceptos com o eixo
, resolvemos :
Então, os interceptos com o eixo
são
e
.
Com essas informações, podemos desenhar a parábola com o vértice em
, passando pelos pontos
,
e
.
Resposta
a) O ponto crítico é
.
b) O ponto crítico
é um ponto de mínimo local.
c) A função é decrescente para
e crescente para
.
d) A função é côncava para cima em todo o domínio.
e) O gráfico é uma parábola com vértice em
, intercepta o eixo
em
e o eixo
em
e
.
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usando a definição de derivada.
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Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Calcule o seguinte limite: