Determine a derivada de
usando a definição de derivada.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente de derivadas. A questão pede para a gente encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela para calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. Derivada basicamente nos dá a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis. Usando a definição formal, a derivada de
é o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função
. Primeiro, vamos calcular
:
Vamos expandir isso:
Passo 4
Em seguida, subtraímos
de
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo por
:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
A derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o seguinte limite:
Considere o vetor unitário
e a função dada por
a) Calcule
e
.
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
b) Determine a derivada direcional
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
Seja
.
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.