Determine a derivada de usando a definição de derivada.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente de derivadas. A questão pede para a gente encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela para calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. Derivada basicamente nos dá a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis. Usando a definição formal, a derivada de é o limite quando se aproxima de 0 da expressão:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função . Primeiro, vamos calcular :
Vamos expandir isso:

Passo 4

Em seguida, subtraímos de :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

A derivada de é .

Exercícios relacionados

Calcule o seguinte limite:
Considere o vetor unitário e a função dada por
a) Calcule e .
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
Seja .
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .