Determine a derivada de f(x) = x^2 + 2x + 1 usando a definição de derivada.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente de derivadas. A questão pede para a gente encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela para calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. Derivada basicamente nos dá a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis. Usando a definição formal, a derivada de é o limite quando se aproxima de 0 da expressão:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função . Primeiro, vamos calcular :
Vamos expandir isso:

Passo 4

Em seguida, subtraímos de :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

A derivada de é .

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