Calcule os seguinte limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é calcular o limite de quando se aproxima de 0. Esse problema está dentro do estudo de limites na matemática, especificamente envolvendo funções trigonométricas e comportamento próximo a pontos específicos. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando estamos próximos de certos valores e usar um teorema chamado Teorema do Sanduíche.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função que estamos estudando: e . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, vai oscilar entre -1 e 1, independentemente do valor de , enquanto é sempre positivo e se aproxima de 0 quando se aproxima de 0.

Passo 3

Como está entre -1 e 1, podemos escrever a seguinte desigualdade:

Passo 4

Agora, multiplicamos todos os lados dessa desigualdade por . Como é positivo, a desigualdade permanece na mesma direção:

Passo 5

Sabemos que, quando se aproxima de 0, tanto quanto se aproximam de 0. Ou seja,

Passo 6

Aqui entra o Teorema do Sanduíche. Esse teorema nos diz que se uma função está “entalhada” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função também tem esse limite. No nosso caso, está entre e , e ambos tendem a 0 quando tende a 0. Portanto, pelo Teorema do Sanduíche,

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo, dizendo em cada passagem quais as propriedades de limites utilizadas.
Estime o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados
.
Calcule os seguintes limites.
Calcule o(s) valor(es) possível(is) para , de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.