Calcule os seguinte limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Esse problema está dentro do estudo de limites na matemática, especificamente envolvendo funções trigonométricas e comportamento próximo a pontos específicos. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando estamos próximos de certos valores e usar um teorema chamado Teorema do Sanduíche.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função que estamos estudando:
e
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então,
vai oscilar entre -1 e 1, independentemente do valor de
, enquanto
é sempre positivo e se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Como
está entre -1 e 1, podemos escrever a seguinte desigualdade:
Passo 4
Agora, multiplicamos todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é positivo, a desigualdade permanece na mesma direção:
Passo 5
Sabemos que, quando
se aproxima de 0, tanto
quanto
se aproximam de 0. Ou seja,
Passo 6
Aqui entra o Teorema do Sanduíche. Esse teorema nos diz que se uma função está “entalhada” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função também tem esse limite. No nosso caso,
está entre
e
, e ambos tendem a 0 quando
tende a 0. Portanto, pelo Teorema do Sanduíche,
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo, dizendo em cada passagem quais as propriedades de limites utilizadas.
Estime o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados
.
Calcule os seguintes limites.
Calcule o(s) valor(es) possível(is) para
, de maneira que as afirmações abaixo sejam verdadeiras.