Estime o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados
lim x 0 e^x-1-xx^2 x=1 ; pm 0,5 ; pm 0,1 ; pm 0,05 ; pm 0,01 ; pm 0,005 ; pm 0,001.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que estimar o valor do limite
lim x 0 e^x-1-xx^2
usando os valores da função para diferentes números próximos de zero: x = 1, x = pm 0,5, x = pm 0,1, x = pm 0,05, x = pm 0,01, x = pm 0,005, e x = pm 0,001. Vamos precisar conhecer a função dada e calcular seus valores para esses pontos para ver como ela se comporta quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
f(x) = e^x-1-xx^2
Queremos saber o que essa função tende a quando x se aproxima de zero. Para isso, vamos calcular f(x) para os diferentes valores de x fornecidos.

Passo 3

Vamos calcular f(x) para cada valor de x. Lembre-se que e^x é a função exponencial, que pode ser calculada facilmente com uma calculadora científica ou uma ferramenta de cálculo.
Vamos organizar os cálculos em uma tabela:
x f(x)
1 (e^1-1-1)/1^2
0,5 (e^0,5-1-0,5)/0,5^2
-0,5 (e^-0,5-1-(-0,5))/(-0,5)^2
0,1 (e^0,1-1-0,1)/0,1^2
-0,1 (e^-0,1-1-(-0,1))/(-0,1)^2
0,05 (e^0,05-1-0,05)/0,05^2
-0,05 (e^-0,05-1-(-0,05))/(-0,05)^2
0,01 (e^0,01-1-0,01)/0,01^2
-0,01 (e^-0,01-1-(-0,01))/(-0,01)^2
0,005 (e^0,005-1-0,005)/0,005^2
-0,005 (e^-0,005-1-(-0,005))/(-0,005)^2
0,001 (e^0,001-1-0,001)/0,001^2
-0,001 (e^-0,001-1-(-0,001))/(-0,001)^2
Agora, vamos calcular cada um desses valores.

Passo 4

Vamos calcular f(x) para cada x:
  1. Para x = 1:
    f(1) = e^1 - 1 - 11^2 = e - 21 approx 2,71828 - 21 = 0,71828
  2. Para x = 0,5:
    f(0,5) = e^0,5 - 1 - 0,50,5^2 approx 1,64872 - 1 - 0,50,25 = 0,148720,25 approx 0,59488
  3. Para x = -0,5:
    f(-0,5) = e^-0,5 - 1 - (-0,5)(-0,5)^2 approx 0,60653 - 1 + 0,50,25 = 0,106530,25 approx 0,42612
  4. Para x = 0,1:
    f(0,1) = e^0,1 - 1 - 0,10,1^2 approx 1,10517 - 1 - 0,10,01 = 0,005170,01 approx 0,517
  5. Para x = -0,1:
    f(-0,1) = e^-0,1 - 1 - (-0,1)(-0,1)^2 approx 0,90484 - 1 + 0,10,01 = 0,004840,01 approx 0,484
  6. Para x = 0,05:
    f(0,05) = e^0,05 - 1 - 0,050,05^2 approx 1,05127 - 1 - 0,050,0025 = 0,001270,0025 approx 0,508
  7. Para x = -0,05:
    f(-0,05) = e^-0,05 - 1 - (-0,05)(-0,05)^2 approx 0,95123 - 1 + 0,050,0025 = 0,001230,0025 approx 0,492
  8. Para x = 0,01:
    f(0,01) = e^0,01 - 1 - 0,010,01^2 approx 1,01005 - 1 - 0,010,0001 = 0,000050,0001 approx 0,5005
  9. Para x = -0,01:
    f(-0,01) = e^-0,01 - 1 - (-0,01)(-0,01)^2 approx 0,99005 - 1 + 0,010,0001 = 0,000050,0001 approx 0,5005
  10. Para x = 0,005:
    f(0,005) = e^0,005 - 1 - 0,0050,005^2 approx 1,0050125 - 1 - 0,0050,000025 = 0,00001250,000025 approx 0,5005
  11. Para x = -0,005:
    f(-0,005) = e^-0,005 - 1 - (-0,005)(-0,005)^2 approx 0,9950125 - 1 + 0,0050,000025 = 0,00001250,000025 approx 0,5005
  12. Para x = 0,001:
    f(0,001) = e^0,001 - 1 - 0,0010,001^2 approx 1,001001 - 1 - 0,0010,000001 = 0,0000010,000001 approx 1,000001
  13. Para x = -0,001:
    f(-0,001) = e^-0,001 - 1 - (-0,001)(-0,001)^2 approx 0,9990005 - 1 + 0,0010,000001 = 0,00000050,000001 approx 0,5000005

Passo 5

Observando os valores calculados, percebemos que à medida que x se aproxima de zero, positive ou negativamente, o valor de f(x) está se aproximando de aproximadamente 0,5. Há uma pequena variação nos cálculos mais próximos de zero, mas a tendência geral indica que o limite está próximo de 0,5.

Resposta

O limite lim x 0 e^x-1-xx^2 existe e seu valor estimado é aproximadamente 0,5.

Exercícios relacionados