Calcule a seguinte questão sobre produto escalar de vetores de forma detalhada e me explique Calcule u⃗ ⋅ v⃗ + u⃗ ⋅ w⃗ + v⃗ ⋅ w⃗ sabendo que u⃗ + v⃗ + w⃗ = 0, ∣u⃗∣ = 2, ∣v⃗∣ = 3 e ∣w⃗∣ = 5
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre produto escalar de vetores! A gente precisa calcular $ \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $ sabendo que $ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = 0 $ e que as magnitudes dos vetores são $ |\vec{u}| = 2 $, $ |\vec{v}| = 3 $ e $ |\vec{w}| = 5 $. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de produtos escalares e manipulação algébrica de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ é dado por:
onde $ \theta $ é o ângulo entre os vetores. Além disso, sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude:
Passo 3
Agora, vamos usar a informação que $ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = 0 $. Isso significa que a soma desses três vetores resulta no vetor nulo. Vamos fazer o produto escalar de ambos os lados dessa equação com ele mesmo:
Passo 4
Expandindo o produto escalar do lado esquerdo, temos:
Como o produto escalar é comutativo ($ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), podemos simplificar:
Passo 5
Substituindo as magnitudes dos vetores:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $:
Resposta
O valor de $ \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $ é -19.