Calcule a seguinte questão sobre produto escalar de vetores de forma detalhada e me explique Calcule u⃗ ⋅ v⃗ + u⃗ ⋅ w⃗ + v⃗ ⋅ w⃗ sabendo que u⃗ + v⃗ + w⃗ = 0, ∣u⃗∣ = 2, ∣v⃗∣ = 3 e ∣w⃗∣ = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre produto escalar de vetores! A gente precisa calcular $ \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $ sabendo que $ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = 0 $ e que as magnitudes dos vetores são $ |\vec{u}| = 2 $, $ |\vec{v}| = 3 $ e $ |\vec{w}| = 5 $. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de produtos escalares e manipulação algébrica de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ é dado por:
a
onde $ \theta $ é o ângulo entre os vetores. Além disso, sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude:
b

Passo 3

Agora, vamos usar a informação que $ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = 0 $. Isso significa que a soma desses três vetores resulta no vetor nulo. Vamos fazer o produto escalar de ambos os lados dessa equação com ele mesmo:
u + v + w = 0

Passo 4

Expandindo o produto escalar do lado esquerdo, temos:
u cdot u + u cdot v + u cdot w + v cdot u + v cdot v + v cdot w + w cdot u + w cdot v + w cdot w = 0
Como o produto escalar é comutativo ($ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), podemos simplificar:
a cdot b = b cdot a

Passo 5

Substituindo as magnitudes dos vetores:
|u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0
2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0
4 + 9 + 25 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0
38 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $:
u cdot v + u cdot w + v cdot w
2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = -38

Resposta

O valor de $ \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $ é -19.

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