Seja f(x) uma função definida por: f ( x ) = { 1 − x 2 x − 1 s e x ≠ 1 a s e x = 1 O valor da constante a para que a função seja contínua em x = 1 é igual a a = 3 a = 0 a = -2 a = 1 a = -1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo sobre continuidade de funções. A questão nos dá uma função definida por partes:
f(x) = dfrac1 - x^2x - 1 & se x neq 1 a & se x = 1
Nosso objetivo é encontrar o valor da constante $ a $ que faz a função $ f(x) $ ser contínua em $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto $ x = c $ se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em $ c $.
  2. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ existe.
  3. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual ao valor da função em $ c $.
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em $ x = 1 $. Então, precisamos que:
x = c

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1:
f(x)
Primeiro, fatoramos o numerador:
x
Então, a expressão do limite fica:
limx to 1 dfrac1 - x^2x - 1
Podemos reescrever $ 1 - x $ como $ -(x - 1) $:
1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)
Agora, cancelamos $ (x - 1) $ no numerador e denominador:
limx to 1 dfrac(1 - x)(1 + x)x - 1

Passo 4

Agora que temos o limite, para que a função seja contínua em $ x = 1 $, devemos ter:
x = 1

Resposta

O valor da constante $ a $ para que a função seja contínua em $ x = 1 $ é igual a $ a = -2 $.

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