Seja f(x) uma função definida por: f ( x ) = { 1 − x 2 x − 1 s e x ≠ 1 a s e x = 1 O valor da constante a para que a função seja contínua em x = 1 é igual a a = 3 a = 0 a = -2 a = 1 a = -1
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo sobre continuidade de funções. A questão nos dá uma função definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar o valor da constante $ a $ que faz a função $ f(x) $ ser contínua em $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto $ x = c $ se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em $ c $.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ existe.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual ao valor da função em $ c $.
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em $ x = 1 $. Então, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1:
Primeiro, fatoramos o numerador:
Então, a expressão do limite fica:
Podemos reescrever $ 1 - x $ como $ -(x - 1) $:
Agora, cancelamos $ (x - 1) $ no numerador e denominador:
Passo 4
Agora que temos o limite, para que a função seja contínua em $ x = 1 $, devemos ter:
Resposta
O valor da constante $ a $ para que a função seja contínua em $ x = 1 $ é igual a $ a = -2 $.