Seja r a reta que passa pelos pontos (1,2) e (-2,5). Determine:
a) Uma equação geral de r.
b) Os pontos de interseção de r com os eixos coordenados.
c) A lei da função afim cujo gráfico é r.
a) Uma equação geral de r.
b) Os pontos de interseção de r com os eixos coordenados.
c) A lei da função afim cujo gráfico é r.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! A gente tem uma reta $ r $ que passa pelos pontos $ (1,2) $ e $ (-2,5) $. Precisamos:
a) Encontrar uma equação geral para a reta $ r $.
b) Descobrir onde essa reta intercepta os eixos coordenados.
c) Determinar a lei da função afim cujo gráfico é a reta $ r $.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica, como cálculo de inclinação da reta, equação geral da reta e interseções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta $ r $. O coeficiente angular $ m $ pode ser calculado usando a fórmula:
Onde $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ são os pontos dados.
Vamos substituir os valores:
Então, o coeficiente angular $ m $ da reta $ r $ é -1.
Passo 3
Agora que temos o coeficiente angular, podemos usar a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta. A fórmula é:
Vamos usar o ponto $ (1,2) $:
Simplificando:
Então, a equação da reta na forma reduzida é $ y = -x + 3 $.
Passo 4
Para obter a forma geral da equação da reta, vamos rearranjar a equação reduzida $ y = -x + 3 $:
Então, uma equação geral para a reta $ r $ é $ x + y - 3 = 0 $.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos de interseção da reta $ r $ com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo $ x $:
Na interseção com o eixo $ x $, $ y = 0 $. Substituindo na equação reduzida:
Então, o ponto de interseção com o eixo $ x $ é $ (3, 0) $.
Interseção com o eixo $ y $:
Na interseção com o eixo $ y $, $ x = 0 $. Substituindo na equação reduzida:
Então, o ponto de interseção com o eixo $ y $ é $ (0, 3) $.
Passo 6
Por fim, a lei da função afim é basicamente a equação reduzida da reta. Já encontramos que:
Então, a lei da função afim cujo gráfico é a reta $ r $ é $ f(x) = -x + 3 $.
Resposta
a) A equação geral da reta $ r $ é $ x + y - 3 = 0 $.
b) Os pontos de interseção de $ r $ com os eixos coordenados são $ (3, 0) $ com o eixo $ x $ e $ (0, 3) $ com o eixo $ y $.
c) A lei da função afim é $ f(x) = -x + 3 $.