Calcule as seguintes antiderivadas:
b. integral arcsen(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de calcular a antiderivada de arcsen(t), ou seja, resolver a integral integral arcsen(t) , dt. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, escolhemos partes da nossa integral para ser e . No nosso caso, temos apenas uma função, mas vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a aplicação da fórmula.

Passo 3

Vamos definir:
  • du = ddt arcsen(t) , dt = 1raiz1 - t^2 , dt
  • v = integral dv = integral dt = t
Agora, precisamos encontrar e .
Para , derivamos em relação a :
Para , integramos :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arcsen(t) , dt = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
arcsen(t) cdot t - integral t cdot 1raiz1 - t^2 , dt

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral traiz1 - t^2 , dt
Fazendo a substituição -12 integral 1raizw , dw , então -12 cdot 2 raizw + C = -raizw + C = -raiz1 - t^2 + C , ou seja, .
Substituindo na integral:
Que simplifica para:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
arcsen(t) cdot t - ( -raiz1 - t^2 ) + C
Simplificando:
t cdot arcsen(t) + raiz1 - t^2 + C

Resposta

A antiderivada de arcsen(t) é:
integral arcsen(t) , dt = t cdot arcsen(t) + raiz1 - t^2 + C

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