Calcule as seguintes antiderivadas:
b. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de calcular a antiderivada de , ou seja, resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, escolhemos partes da nossa integral para ser e . No nosso caso, temos apenas uma função, mas vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a aplicação da fórmula.

Passo 3

Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar e .
Para , derivamos em relação a :
Para , integramos :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
Fazendo a substituição , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Que simplifica para:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:

Resposta

A antiderivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule as primitivas abaixo:
c. .
Encontre os pontos críticos da função.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
Calcule as seguintes antiderivadas:
f.