Calcule as seguintes antiderivadas:
b.
.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de calcular a antiderivada de
, ou seja, resolver a integral
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, escolhemos partes da nossa integral para ser
e
. No nosso caso, temos apenas uma função, mas vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a aplicação da fórmula.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Para
, derivamos
em relação a
:
Para
, integramos
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda integral:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Que simplifica para:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Resposta
A antiderivada de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as primitivas abaixo:
c. .
c.
Encontre os pontos críticos da função.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Calcule as seguintes antiderivadas:
f.
f.